Великая Теорема Ферма

Великая Теорема Ферма

   История загадки, которая занимала лучшие умы мира на протяжении 358 лет

Саймон СИНГХ  ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА

От издательства

   Трудно найти более известное математическое утверждение, чем последняя теорема Ферма. Своей обманчивой простотой она привлекала внимание к себе на протяжении более чем 350 лет.
   И вот, наконец, теорема Ферма доказана. История ее доказательства только за последние двадцать лет уже заслуживает отдельного описания: связь с гипотезой Таниямы, объявление о доказательстве Мияоки, газетная шумиха и последующее разочарование в 1993 году, и, наконец, заявления об окончательном доказательстве и публикации в 1995 году. Учитывая ажиотаж, возникший после объявления премии в 1908 году и не утихший до сих пор, трудно поверить, что в этой интригующей истории поставлена последняя точка…
   И тем не менее, перед нами книга, в которой подробно прослежена вся история доказательства от появления самой проблемы на полях «Арифметики» Диофанта в 1637 году до публикаций Э. Уайлса и Р. Тейлора в 1995 году. Столь длинный временной промежуток позволил автору сообщить множество интересных и малоизвестных подробностей из истории математики.
   Эта книга была опубликована в 1997 году и стала бестселлером. Ее автору удалось успешно разрешить трудную дилемму: написать подробный и интересный рассказ о доказательстве математической теоремы, практически не используя математический аппарат. Конечно же, это стало возможным только при помощи целого ряда чрезмерных упрощений. Характерной особенностью книги является и то, что она написана, как это и отражено в предисловии, по «горячим» следам событий. К сожалению, это привело к появлению некоторых неточностей, а иногда и прямых ошибок. Тем не менее, мы уверены, что публикация этой книги на русском языке вызовет большой интерес.
   В заключение нам хотелось бы привести несколько ссылок. Так, оригинальные исследования Ферма можно найти в [1]. Классические результаты можно найти в [2,3]. О связи эллиптических кривых и теоремы Ферма см. [4].
   В качестве первоначальных книг по теории чисел, эллиптическим функциям и модулярным формам мы рекомендуем [4,5,6,7].
   1. Ферма П. Исследования по теории чисел и диофантову анализу. — М.: Наука, 1992.
   2. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. — М.: Мир, 1980.
   3. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1982.
   4. Прасолов В.В., Соловьев Ю. П. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. — М.: Факториал, 1997.
   5. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985.
   6. Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. — М.: Мир, 1988.
   7. Айерланд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.

Предисловие

   Наконец-то мы сошлись в одно и то же время, и в одном и том же месте — в зале, заполненного не до отказа, но все же настолько просторном, чтобы вместить сотрудников математического факультета Принстонского университета, где они собирались по какому-нибудь торжественному поводу. В тот день людей в зале было не так уж и много, но все же достаточно для того, чтобы я не мог с уверенностью сказать, кто из них Эндрю Уайлс. Оглядевшись, я через несколько минут обратил внимание на скромного вида человека, который, пил чай, слушал, о чем говорили стоявшие поблизости коллеги, и был явно погружен в ритуальный процесс «собирания с мыслями», которым около четырех часов дня поглощены математики во всем мире. Что же касается его, то он просто догадался, кто я.
   Дело было в конце необычайно напряженной недели. Мне удалось встретиться с несколькими замечательнейшими математиками из числа ныне здравствующих, и мало-помалу я начал разбираться в их мире. Но несмотря на все усилия поймать Эндрю Уайлса, мы увидели друг друга впервые. Я хотел поговорить с ним и убедить его принять участие в документальном фильме, для передачи «Горизонт» на Би-Би-Си, о полученном им феноменальном результате. Эндрю Уайлс был тем самым человеком, который недавно во всеуслышание заявил что ему удалось найти Святой Грааль математики — доказательство Великой теоремы Ферма. Во время последовавшего затем разговора Уайлс был рассеян и держался замкнуто, и хотя он был вежлив и дружелюбен, было ясно, что ему очень хочется побыстрее отделаться от меня. Уайлс без обиняков заявил, что не может сейчас сосредоточиться ни на чем, кроме работы, которая, по его словам, находится в критической стадии, и что, возможно, позднее, когда схлынет напряжение, он с удовольствием примет участие в фильме.
   Мне было известно (и он это знал), что самая честолюбивая мечта его жизни рухнула. Святой Грааль, который он уже было держал в руках, на деле оказался не более чем очень красивым, драгоценным, но все-таки обыкновенным сосудом для питья. Дело в том, что в своем доказательстве, о котором он возвестил математическому миру, Уайлс нашел ошибку.
   История Великой теоремы Ферма уникальна. К тому времени, когда мне впервые довелось встретиться с Эндрю Уайлсом, я уже пришел к пониманию того, что это — поистине одна из величайших историй в сфере научной деятельности. Я видел своими глазами заголовки летом 1993 года, когда доказательство теоремы Ферма вынесло математику на передние полосы национальных газет всего мира. К тому времени у меня в голове сохранились лишь весьма смутные воспоминания о том, что такое Великая теорема Ферма, но было очевидно, что это нечто весьма и весьма особенное и что в передаче «Горизонт» ей стоит посвятить фильм. На протяжении нескольких недель я побеседовал со многими математиками: теми, кто принимал непосредственное участие в истории или хорошо знал Эндрю, и теми, кто просто испытывал восторг от сознания того, что им довелось стать свидетелями великого события в своей профессиональной области. Все щедро делились со мной своими познаниями из истории математики и терпеливо втолковывали мне суть свершившегося, хотя в обрушившихся на меня понятиях я разбирался весьма слабо. Вскоре стало ясно, что речь идет о предмете, которым во всей его полноте владеет едва ли полдюжины людей во всем мире. Какое-то время я даже стал задумываться над тем, не сошел ли я с ума, пытаясь снять фильм о решении теоремы Ферма. Но от своих собеседников я также узнал о богатой истории этой проблемы и большом значении Великой теоремы Ферма для математики и ее приложений и понял, что именно здесь и кроется подлинный сюжет фильма.
   Я узнал, что своими корнями Великая теорема Ферма уходит в Древнюю Грецию и что в теории чисел она высится, подобно гималайскому пику. Я ощутил эстетическую привлекательность математики и начал ценить в ней то, что позволяет считать эту науку языком природы. Коллеги Уайлса помогли мне постичь титаничность его усилий по собиранию всех наиболее современных методов теории чисел с целью последующего использования их для доказательства Великой теоремы Ферма. От друзей Эндрю в Принстоне я услышал о тернистом пути к успеху, пройденном Эндрю за годы исследований, проведенных в одиночестве. Вокруг Эндрю Уайлса мне удалось нарисовать поистине удивительную картину и шаг за шагом сложить головоломку, доминировавшую над его жизнью, но, казалось, мне так и не суждено встретить этого человека.
   Хотя Уайлс использует в своем доказательстве сложнейшие математические методы, я обнаружил, что красота Великой теоремы Ферма заключается в том, что уяснить саму проблему необычайно просто. Это — головоломка, формулируемая так, что она понятна любому школьнику. Пьер де Ферма был человеком, воспитанным в традициях Возрождения, и находившимся в самом центре повторного открытия древнегреческого знания. Но Ферма сумел поставить вопрос, который не додумались задать древние греки, и в результате он стал автором труднейшей проблемы на Земле, решать которую пришлось другим. Словно дразня потомков ложными надеждами, Ферма оставил им краткое сообщение, в котором уведомлял о том, что знает решение, но умалчивал о том, в чем именно оно состоит. Так началась гонка, которая продолжалась три столетия.
   То, что теорема Ферма не была доказана так долго, придает ей особую значимость. Трудно привести еще какую-нибудь проблему из любой области науки, которая была бы сформулирована столь просто и ясно и выдержала бы проверку все прогрессирующего знания на протяжении столь большого промежутка времени. Вспомним гигантские успехи, достигнутые в развитии физики, химии, медицины и инженерного дела с XVIII века. От «гуморов» в медицине мы поднялись до расщепления гена на составные части, открыли элементарные частицы из которых состоит атом, высадили людей на Луну, но в теории чисел Великая теорема Ферма продолжала оставаться неприступной крепостью.
   Проводя свои изыскания, я хотел понять, почему Великая теорема Ферма так существенна (и не только для математиков) и почему так важно создать фильм о ней. Математика имеет множество практических приложений. В случае теории чисел, самые интересные из них, на мой взгляд, встречаются в криптографии, проектировании глушителей акустических сигналов и задачах связи с космическими кораблями, находящимися на большом удалении. Ни одно из этих приложений, насколько можно судить, не может быть особенно привлекательным для широкой аудитории. Гораздо более привлекательными были сами математики, и та горячность, с которой они говорили о проблеме Ферма.
   Математика — одна из наиболее чистых форм мышления, и для посторонних математики могут показаться людьми не от мира сего. Во всех моих беседах с математиками меня поражала необычайная точность, с которой они выражали свои мысли. На сложный вопрос ответ приходилось ждать, пока точная структура не вырисовывалась со всей четкостью в уме математика, но зато потом следовал такой ясный и четкий ответ, о каком я мог только мечтать. Когда я спросил об этом Питера Сарнака, приятеля Эндрю, он объяснил мне, что математики просто терпеть не могут высказывать ложные утверждения. Разумеется, они используют интуицию и не чужды вдохновения, но формальные суждения должны быть логически безупречными. Доказательство лежит в самом сердце математики, и это то, что отличает математику от других наук. В других науках имеются гипотезы, проверяемые на экспериментальных данных и в конце концов отвергаемые и заменяемые новыми гипотезами. В математике целью является логически безупречное, абсолютное, доказательство, и то, что доказано, доказано на вечные времена — для каких-либо изменений не остается места. Великая теорема Ферма стала величайшим вызовом математикам, и тот, кто сумел бы решить проблему Ферма, заслужил бы восторженное поклонение всего математического сообщества.
   За ее доказательство предлагались призы; процветало соперничество. У Великой теоремы Ферма богатая история, знавшая смерть и мошенничество. Она оказала определенное влияние на развитие математики. По словам профессора математики Гарвардского университета Барри Мазура, Ферма вдохнул жизнь в те разделы математики, которые были связаны с первыми попытками доказать Великую теорему. По иронии судьбы, оказалось, что один из именно таких разделов математики занял центральное место в окончательном варианте доказательства Уайлса.
   Постепенно проникаясь пониманием незнакомой мне ранее области, я пришел к заключению, что Великая теорема Ферма сыграла главную роль в развитии математики и что ее история шла параллельно истории самой математики. Ферма стал отцом современной теории чисел. С того времени, когда он жил и работал, математика обрела новую жизнь, стала развиваться и разделилась на множество областей, в рамках которых новые методы способствовали возникновению новых результатов или прекратили свое развитие, исчерпав проблематику. По прошествии веков Великая теорема Ферма, казалось, все больше отходила от переднего края математических исследований, все более превращаясь в курьез. Но как теперь стало ясно, она не утратила своего центрального места в математике.
   Проблемы, связанные с числами, — вроде той, которую сформулировал Ферма, — служат своего рода испытательным полигонами для разгадывания головоломок, а математики очень любят разгадывать головоломки. Для Эндрю Уайлса Великая теорема Ферма стала головоломкой особого рода: решить ее стало мечтой всей его жизни. Тридцать лет назад, когда он еще был мальчишкой, Великая теорема Ферма поразила его воображение и навсегда запала в сердце. Летом 1993 года ему удалось найти ее доказательство в результате семилетней самоотверженной работы над проблемой, потребовавшей от него такой сосредоточенности и решимости, какие трудно себе представить. Многие из использованных им методов еще не были созданы, когда он приступил к работе. Он слил воедино труды многих превосходных математиков, установил взаимосвязи между различными идеями и разработал новые понятия, о которых другие математики боялись даже думать. В каком-то смысле, как сказал Барри Мазур, оказалось, что все размышляли над проблемой Ферма, но размышляли порознь, не помышляя о том, чтобы найти ее решение, потому что доказательство Великой теоремы Ферма потребовало бы всей мощи современной математики. То что сделал Эндрю, сводилось к восстановлению связей между разделами математики, казалось, разошедшимися навсегда. Его работа поэтому стала своего рода оправданием всей диверсификации, которую претерпела математика с тех пор, как была сформулирована проблема Ферма.
   История Великой теоремы Ферма завершилась самым эффективным образом. Для Эндрю Уайлса найденное им доказательство означало конец изоляции, почти чуждой математике, которая обычно представляет собой коллективную деятельность. В нарушение всех традиций Уайлс хранил молчание о своей работе вплоть до ее заключительной стадии. И его молчание служило мерой значительности Великой теоремы Ферма. Уайлс был движим реальной страстью — желанием во что бы то ни стало стать тем, кто решит проблему Ферма, страстью столь сильной, что она заставила Уайлса посвятить семь лет своей жизни осуществлению своего намерения и следовать достижению поставленной цели. Уайлс превосходно знал, что сколько малозначительной ни считали проблему Ферма его коллеги-математики, накал состязания за решение этой проблемы не ослабевал, и поэтому Уайлс не мог рискнуть, заявив во всеуслышание о том, что он пытается найти доказательство Великой теоремы Ферма.
   Проведя долгие недели за изучением того, что происходит в математике, я прибыл в Принстон. Для математиков накал эмоций был очень высок. Мне открывалась история соперничества, успеха, одиночества, гения, триумфа, ревности, жестокого прессинга, утрат и даже трагедии. В центре гипотезы Шимуры-Таниямы, сыгравшей решающую роль в решении Великой теоремы Ферма, была трагическая послевоенная жизнь в Японии Ютаки Таниямы, историю которого я имел честь выслушать от его близкого друга Горо Шимуры. От Шимуры я узнал также о понятии «доброкачественности» в математике, где все хорошо оттого, что все отличного качества. Каким-то образом ощущение доброкачественности в то лето пронизывало атмосферу математики. Все наслаждались знаменательным моментом.
   Учитывая все сказанное, не приходится удивляться тому грузу ответственности, который ощутил Эндрю, когда осенью 1993 года стало ясно, что в его доказательстве допущена ошибка. Взоры всего мира были обращены на него, коллеги призывали его опубликовать подробное доказательство, в том или в ином виде (только он один знал, в каком именно виде), но главное было в том, что строгого доказательства у него не было! Роковой переход от занятий математикой в домашней обстановке и продвижения в собственном темпе к работе на публике был совершен. Эндрю человек глубоко домашний, и он изо всех сил боролся за то, чтобы оградить свою семью от разразившейся вокруг него бури. Всю неделю, которую мне довелось провести в Принстоне, я звонил, оставлял записки в офисе, у дверей его квартиры, передавал через его друзей… Но Уайлс упорно сопротивлялся всем моим «подходам» пока у меня не остался один-единственный шанс повидаться с ним в день моего отъезда. Последовала тихая насыщенная беседа, которая продлилась всего-навсего пятнадцать минут.
   Тем не менее, когда мы расстались в тот день, между нами царило понимание. Если Уайлсу удается исправить доказательство, то он непременно найдет меня, и мы обсудим замысел фильма. Я приготовился ждать. Но когда я вечером летел домой в Лондон, мне казалось, что телевизионная передача погибла, так и не успев родиться. За триста лет еще никому не удалось заштопать прорехи, обнаруженные в многочисленных попытках найти доказательство Великой теоремы Ферма. История усеяна ложными заявлениями «ферматистов», которым якобы удалось доказать Великую теорему Ферма. Я от души желал, чтобы Эндрю стал исключением, но отчетливо понимал, что его имя скорее всего окажется на одном из надгробий математического кладбища.
   Год спустя мне позвонили. Совершив необычайный поворот в математических рассуждениях, в порыве вдохновения постигнув истину, Эндрю наконец завершил доказательство Великой теоремы Ферма. К тому времени я успел пригласить Саймона Сингха принять участие в создании фильма, и мы оба стали проводить время с Эндрю, слушая от самого автора доказательства подробную историю семи лет исследований в одиночестве и последовавшего затем годичного ада. Когда мы снимали фильм, Эндрю поведал нам то, о чем он не говорил никому прежде: о своих сокровеннейших мыслях по поводу того, что ему удалось совершить; о детской мечте, довлевшей над ним на протяжении тридцати лет; о том, сколько разделов математики ему пришлось изучить, не зная еще, что он занимается сбором орудий для решения Великой проблемы, игравшей главенствующую роль во всей его математической карьере; о том, что ничего подобного больше с ним не произойдет; об охватившем его чувстве потери проблемы Ферма, которая более уже не будет его постоянным компаньоном; о чувстве душевного подъема, которое охватывает его при мысли о том, что он совершил. Для Эндрю доказательство Великой теоремы Ферма было завершением одной из глав его жизни, мне же выпала высокая честь прикоснуться к столь знаменательному событию.
   Наш фильм был показан по телевидению Би-Би-Си в программе «Горизонт» под названием «Великая теорема Ферма». Саймон Сингх развил то, что нам удалось понять из доверительных бесед с Эндрю Уайлсом, и насытил материал фактами из богатой истории доказательства этой теоремы. Так появилась на свет эта книга, представляющая собой полную и общедоступную письменную версию одного из величайших событий в истории человеческой мысли.
   Март 1997 г.
   Джон Линч
   Редактор серии «Горизонт» телевидения Би-Би-Си

Введение

   История Великой теоремы Ферма неразрывно связана с историей математики, так как затрагивает все основные темы теории чисел. Она открывает уникальную возможность понять, что движет математикой и что дает вдохновение математикам, — а это, возможно, даже более важно. Великая теорема Ферма составляет центральное ядро захватывающей истории о смелости, мошенничестве, хитрости и трагедии, — истории, которая так или иначе затрагивает всех величайших героев математики.
   Своими корнями Великая теорема Ферма уходит в математику Древней Греции — за две тысячи лет до того, как Пьер де Ферма сформулировал свою проблему в том виде, в каком мы знаем ее сегодня. Таким образом, Великая теорема Ферма связывает основания математики, заложенные Пифагором, с наиболее изощренными идеями современной математики. При написании этой книги я опирался на хронологическую последовательность событий, начиная с революционного эпоса пифагорейского братства и заканчивая личной историей Эндрю Уайлса — его упорной борьбы за то, чтобы найти решение головоломки Ферма.
   Глава 1 повествует о Пифагоре и объясняет, почему теорему Пифагора можно считать прямым предком Великой теоремы Ферма. В этой же главе обсуждаются фундаментальные понятия математики, встречающиеся в этой книги. В главе 2 излагается история от Древней Греции до Франции XVIII века, когда Пьер де Ферма создал самую глубокую в истории математики задачу-головоломку. Несколько страниц посвящено описанию жизни Ферма и обсуждению его некоторых других блестящих открытий. Это поможет лучше понять необычный характер Ферма и его вклад в математику (далеко выходящий за рамки Великой теоремы, носящей ныне его имя).
   Главы 3 и 4 описывают попытки доказать Великую теорему Ферма, предпринятые в XVIII, XIX и начале XX века. Хотя эти попытки окончились неудачей, они привели к созданию поразительного арсенала математических методов и средств. Некоторые из этих методов были использованы в ряде самых последних попыток доказать Великую теорему Ферма. Кроме того, в этих главах читатель найдет сведения о многих математиках, чье творчество в той или иной степени было связаны с наследием Ферма.
   Остальные главы книги содержат хронику замечательных событий последних сорока лет, в течение которых в исследовании Великой теоремы Ферма произошел переворот. В частности, в главах 7 и 8 основное внимание уделено работе Эндрю Уайлса, чей героический прорыв, совершенный в последнее десятилетие, поразил математическое сообщество. В основу этих заключительных глав положены обширные интервью с Эндрю Уайлсом. Для меня они стали единственной в своем роде возможностью услышать от непосредственного участника событий о самом необычном приключении XX века. И я надеюсь, что мне удалось передать то творческое горение и героизм, которые потребовались Уайлсу, чтобы с честью выдержать суровые испытания, длившиеся целое десятилетие.
   Рассказывая легенду о Пьере де Ферма и придуманной им поразительной задаче, я пытался объяснять математические понятия не прибегая к уравнениям, но x, y и z время от времени неизбежно поднимали свои головы. Всякий раз, когда уравнения все же появляются в тексте, они снабжены достаточными пояснениями и не вызовут трудностей у читателей, не обладающих математической подготовкой. Для тех же читателей, чьи познания в математике глубже, я привожу несколько приложений, в которых затрагиваемые в основном тексте математические идеи излагаются более подробно. Кроме того, в конце книги приведен список литературы для дальнейшего чтения. Как правило, в него вошли книги, из которых читатель-нематематик может на доступном для себя уровне получить представление о том или ином разделе математики.
   Создание книги было бы невозможно без помощи и участия многих людей. Особенно я хочу поблагодарить Эндрю Уайлса, который, вопреки обыкновению, давал продолжительные и подробные интервью в самый разгар работы над решением проблемы Ферма. За семь лет работы на поприще научной журналистики я не встречал никого, кто был бы так глубоко предан своей работе, и я навсегда сохраню благодарность профессору Уайлсу за его готовность поведать мне свою историю.
   Я хочу также поблагодарить других математиков, которые помогли мне написать эту книгу и любезно согласились дать мне подробные интервью. Одни из моих собеседников сами принимали участие в попытках найти доказательство Великой теоремы Ферма, другие были свидетелями исторических событий, происшедших за последние сорок лет. Часы, которые я провел, беседуя и обмениваясь с ними шутливыми замечаниями, доставили мне необычайную радость, и я высоко ценю то терпение и энтузиазм, с которыми они объясняли мне суть многих прекраснейших математических понятий.
   Я хотел бы особенно поблагодарить Джона Коутса, Джона Конвея, Ника Каца, Барри Мазура, Кена Рибета, Питера Сарнака, Горо Шимуру и Ричарда Тейлора.
   Свою книгу я стремился проиллюстрировать как можно большим числом портретов, чтобы читатель составил лучшее представление о тех, кто принял участие в истории Великой теоремы Ферма. Различные библиотеки и архивы сделали все возможное, что было в их силах, чтобы помочь мне. Я хочу выразить особую благодарность Сьюзен Оукес из Лондонского математического общества, Сандре Камминг из Королевского общества и Яну Стюарту из Варвикского университета. Я признателен также Жаклин Савани из Принстонского университета, Дункану Макагнусу, Джереми Грею Полу Балистеру из Института сэра Исаака Ньютона за их помощь в подборе исследовательского материала. Я благодарен Патрику Уолшу, Кристоферу Поттеру, Бернадетте Альвес, Санджиде О'Коннел и моим родителям за их комментарии и поддержку, оказанную мне в последний год.
   Наконец, многие интервью, которые упоминаются в книге, были получены, когда я работал над документальной частью телевизионного фильма о Великой теореме Ферма. Я хочу поблагодарить Би-Би-Си, позволившую мне воспользоваться этим материалом и в особенности Джона Линча, который работал вместе со мной над этим фильмом и способствовал пробуждению моего интереса к Великой теореме Ферма.
   Март 1997 г.
   Памяти Пакхара Сингха

Глава 1. «Думаю, мне следует остановиться»

   Архимеда будут помнить, когда Эсхила забудут, потому что языки умирают, но не математические идеи. Возможно, бессмертие — глупое слово, но, по всей видимости, математик имеет наилучший шанс на бессмертие, что бы оно ни означало.
Г.Г. Харди

Кембридж, 23 июня 1993 года

   Это была самая важная лекция по математике столетия. Двести математиков сидели, как завороженные. Лишь четверть из них полностью понимала густую мешанину из греческих букв и алгебраических символов, которая покрывала доску. Остальные присутствовали только для того, чтобы стать очевидцами события, которое, как они надеялись, станет поистине историческим.
   Слухи поползли накануне. По электронной почте распространилось сообщение, в котором высказывалось предположение, что намеченная на 23 июня 1993 года лекция может стать кульминацией в поисках доказательства Великой теоремы Ферма — самой знаменитой математической проблемы. Такого рода слух не был чем-то необычным. Великая теорема Ферма часто бывала темой разговоров за чашкой чая, и математики принимались рассуждать о том, кто мог бы найти доказательство. Иногда смутные беседы математиков в помещении для членов колледжей превращали догадки в слухи о якобы найденном доказательстве Великой теоремы Ферма, но из этих слухов никогда ничего не материализовалось.
   На этот раз слух был иного рода. Один из аспирантов Кембриджского университета был настолько убежден в истинности сообщения, что решился поставить у букмекеров 10 фунтов стерлингов на то, что доказательство Великой теоремы Ферма будет найдено в течение недели. Но букмекеры сочли, что дело нечисто, и отказались принять заклад. Это был пятый студент, который обратился к ним с аналогичным предложением в тот день. Над поиском доказательства Великой теоремы Ферма лучшие умы бились на протяжении трех столетий, и теперь даже букмекеры начали подозревать, что доказательство скоро будет найдено.
   Три доски оказались исписанными, и лектор сделал паузу. Текст с первой доски был стерт, и выкладки продолжились. Каждая строка вычислений становилась крохотной ступенькой, приближавшей к решению проблемы, но вот прошло тридцать минут, а лектор все еще не объявлял, что доказательство завершено. Профессора, заполнившие первые ряды, с нетерпением ожидали заключительной части лекции. Студенты, стоявшие сзади, поглядывали на преподавателей в надежде, что те подскажут, каким может оказаться окончательный «приговор». Присутствуют ли они при изложении полного доказательства Великой теоремы Ферма, или лектор излагает лишь общую схему некоего неполного рассуждения, призванного разрядить всеобщее напряженное ожидание подлинного доказательства.
   Лектором был Эндрю Уайлс, сдержанный англичанин, эмигрировавший в 80-х годах в Америку и ставший профессором Принстонского университета, где он заслужил репутацию одного из наиболее одаренных математиков своего поколения. В последние годы Уайлс почти полностью исчез из ежегодного круга конференций и семинаров, и коллеги начали было думать, что Уайлс исчерпал свои возможности как математик. Выгореть дотла для молодых блестящих умов не такая уж редкость. Как заметил математик Альфред Адлер, «математическая жизнь ученого-математика коротка. После того, как ему исполнится лет 25–30, его работа редко становится продуктивнее. Если к этому возрасту мало что сделано, то и потом удается свершить не много».
   «Молодые люди должны доказывать теоремы, пожилые — писать книги, — заметил Г.Г. Харди в своей книге «Апология математика». — Ни один математик не должен забывать о том, что математика в большей степени, чем какое-либо другое искусство или наука, — игра молодых людей. В качестве простого примера упомяну о том, что средний возраст избрания в Королевское общество ниже всего у математиков». Блестящий ученик самого Харди — Сриниваса Рамануджан был избран членом Королевского общества в возрасте тридцати одного года, успев совершить в более молодые годы ряд серьезных открытий. Несмотря на весьма слабое формальное образование, полученное им в родной деревне Кумбаконам в Южной Индии, Рамануджан сумел сформулировать теоремы и решить ряд проблем, не поддававшихся усилиям математиков на Западе. В математике опыт, который приходит с возрастом, менее важен, чем интуиция и смелость, свойственные юности. Когда Рамануджан представил Харди свои результаты, кембриджский профессор был настолько поражен, что предложил Рамануджану оставить работу младшего клерка в Южной Индии и переехать в Тринити-колледж, где тот мог бы общаться и взаимодействовать с некоторыми из самых выдающихся специалистов по теории чисел в мире. К сожалению, суровые зимы Восточной Англии оказались непосильным испытанием для Рамануджана. Он заболел туберкулезом и умер в возрасте тридцати трех лет.
   Немало других математиков прожили столь же блестящую, но краткую жизнь в науке. В XIX веке норвежец Нильс Хенрик Абель внес свой величайший вклад в математику, когда ему исполнилось девятнадцать лет, и умер в нищете восемью годами позже также от туберкулеза. Шарль Эрмит сказал, что Абель «оставил математикам нечто такое, над чем им предстоит трудиться лет пятьсот», и не подлежит сомнению, что его открытия и поныне оказывают глубокое влияние на современную теорию чисел. Столь же одаренный современник Абеля Эварист Галуа сделал первостепенное открытие, будучи еще подростком, и умер в возрасте двадцати одного года.
   Приведенные мной примеры предназначены не для того, чтобы читатель пришел к заключению, что математиков постигает кончина безвременная и трагическая. Я хочу подчеркнуть, что свои наиболее глубокие идеи математики выдвигают в юности, и, как сказал Харди, «я не знаю случая, когда бы серьезная математическая идея была высказана человеком старше пятидесяти». Достигнув среднего возраста, математики часто отходят на задний план и проводят остаток своих дней, занимаясь преподаванием или администрированием, но не математическими исследованиями. С Эндрю Уайлсом дело обстоит совсем иначе. Хотя он достиг почтенного сорокалетнего возраста, семь лет он работал над решением задачи в обстановке полной секретности, пытаясь найти решение единственной в своем роде величайшей проблемы в истории математики. В то время, как коллеги Уайлса подозревали, что математический дар его безвозвратно иссяк, он фантастически быстро продвигался к поставленной цели, изобретая новые методы и средства, которые теперь вознамерился открыть математическому сообществу. Его решение работать над проблемой в полной изоляции было весьма рискованной стратегией, неслыханной прежде в математическом мире.
   Не обладая изобретениями, требующими патентования, математический факультет любого университета сопряжен с секретностью в меньшей степени, чем любой другой факультет. Сотрудники математического факультета наслаждаются открытым свободным обменом идей, как правило во время чаепитий, которые превратились в ежедневные ритуалы. Как следствие, все большее число статей публикуется в соавторстве или группами математиков, и слава делится на всех поровну. Но если профессор Уайлс действительно обнаружил полное и строгое доказательство Великой теоремы Ферма, то наиболее высоко ценимая награда в математике принадлежит ему, и только ему одному. Цена, которую он был вынужден уплатить за то, что вел свои исследования в тайне от коллег и ранее не обсуждал свои идеи и не проверял их на математическом сообществе, заключалась в высокой вероятности, что где-то в своих рассуждениях он допустил фундаментальную ошибку.
   По своему замыслу Уайлс намеревался еще какое-то время поработать над проблемой Ферма, чтобы полностью проверить окончательный вариант своей рукописи. Но ему представилась уникальная возможность объявить о своем открытии в Институте сэра Исаака Ньютона, и Уайлс отбросил осторожность. Единственная цель существования этого Института состоит в том, чтобы собирать вместе на несколько недель самые выдающиеся умы мира и предоставлять им возможность проводить по своему усмотрению семинары по самым животрепещущим проблемам современной математики. Расположенное на задворках Кембриджского университета, вдали от студентов и разных помех, институтское здание спланировано и построено с таким расчетом, чтобы создать математикам все условия, позволяющие сосредоточиться на обсуждаемой проблеме и предпринять мозговой штурм. Внутри здания нет тупиков, в которых можно было бы затаиться. Все кабинеты выходят на форум. Предполагалось, что математики в основном будут собираться на форуме. Двери кабинетов рекомендуется держать открытыми. Передвигаясь по Институту, математик может не прерывать общения с коллегами. Доска висит даже в лифте, перемещающимся между тремя этажами. И по крайней мере одна доска есть в каждой комнате, не исключая ванных. В тот раз, о котором идет речь, в Институте Ньютона семинары шли под названием «L-функции и арифметика». Все наиболее выдающиеся специалисты мира по теории чисел собрались, чтобы обсудить проблемы, связанные со столь высокоспециализированной областью чистой математики, но только Уайлс понял, что L-функции могли бы дать ключ к доказательству Великой теоремы Ферма.
   И хотя его очень привлекала возможность рассказать о своей работе столь выдающейся аудитории, все же главным, что заставило его объявить о своем открытии в Институте Ньютона, было то, что он находился в своем родном городе — Кембридже. Здесь Уайлс родился, вырос, здесь получила развитие его любовь к теории чисел, и именно в Кембридже он впервые столкнулся с проблемой, которой посвятил свою оставшуюся жизнь.

Проблема Ферма

   В 1963 году, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. «В школе я любил решать задачи, я брал их домой и из каждой задачи придумывал новые. Но лучшую из задач, которые мне когда-либо попадались, я обнаружил в местной библиотеке».

   Эндрю Уайлс в возрасте десяти лет, когда он впервые узнал о Великой теореме Ферма.

   Однажды по дороге из школы домой Эндрю Уайлс решил заглянуть в библиотеку на Милтон-роуд. По сравнению с библиотеками университетских колледжей эта библиотека была довольно бедной, но выбор книг по занимательной математике в ней был богатым, и эти книги часто привлекали внимание Эндрю. Их страницы были до отказа заполнены всякого рода научными курьезами и задачами-головоломками, и на каждый вопрос существовал готовый ответ, заботливо помещенный где-нибудь в конце книги. Но на этот раз Эндрю выудил книгу, в которой речь шла лишь об одной-единственной задаче, и решение ее не приводилось.
   Это была книга Эрика Темпла Белла «Великая проблема» об истории одной математической задачи, корни которой уходят в Древнюю Грецию. Своего полного расцвета эта проблема достигла в XVII веке. Именно тогда великий французский математик Пьер де Ферма без всякого умысла сформулировал ее так, что она стала вызовом всему остальному миру. Выдающиеся математики один за другим принимались за наследие Ферма и были вынуждены смиренно признать, что оно оказалось им не по силам. За триста лет никому не удалось решить эту проблему. Разумеется, в математике есть немало других нерешенных проблем, но проблема Ферма занимает среди них особое место своей обманчивой простотой. Тридцать лет спустя после того, как он впервые прочитал книгу Белла, Уайлс рассказал мне, что он ощутил при первой встрече с Великой теоремой Ферма. «Она выглядела такой простой, и все же великие умы в истории математики не смогли доказать ее. Передо мной была проблема, понятная мне, десятилетнему мальчику, и я почувствовал, что с того самого момента я никогда не смогу отступиться от этой проблемы. Я должен был решить ее».
   Проблема выглядела столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, — теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.
   Благодаря этому пифагорову заклинанию, теорема запечатлелась в мозгу миллионов, если не миллиардов, людей. Это — фундаментальная теорема, заучивать которую заставляют каждого школьника. Но несмотря на то, что теорема Пифагора доступна пониманию десятилетних, она является вдохновляющим началом проблемы, при решении которой потерпели фиаско величайшие умы в истории математики.
   Пифагор с острова Самос был одной из наиболее влиятельных и тем не менее загадочных фигур в математике. Поскольку достоверных сообщений о его жизни и работе не сохранилось, его жизнь оказалась окутанной мифами и легендами, и историкам бывает трудно отделить факты от вымысла. Не подлежит сомнению, однако, что Пифагор развил идею о логике чисел и что именно ему мы обязаны первым золотым веком математики. Благодаря его гению, числа перестали использоваться только для счета и вычислений и были впервые оценены по достоинству. Пифагор изучал свойства определенных классов чисел, соотношения между ними и фигуры, которые образуют числа. Пифагор понял, что числа существуют независимо от материального мира, и поэтому на изучении чисел не сказывается неточность наших органов чувств. Это означало, что Пифагор обрел возможность открывать истины, независимые от чьего-либо мнения или предрассудка. Истины более абсолютные, чем любое предыдущее знание.
   Пифагор жил в V веке до н. э., свои познания и умения в математике он приобрел, странствуя по Древнему Миру. По некоторым преданиям, Пифагор побывал в Индии и Британии, но, по более достоверным сведениям, он перенял многие математические методы и средства у вавилонян и египтян. И те, и другие древние народы вышли за пределы простого счета и могли выполнять сложные вычисления, позволявшие им создавать тонкие системы учета и возводить сложные здания. Правда, математику они рассматривали лишь как средство решения практических проблем; причиной открытий некоторых основных правил геометрии стала необходимость восстанавливать границы между земельными участками, оказавшимися смытыми при ежегодных разливах Нила. Само слово геометрия означает «землемерие».
   Пифагор обратил внимание на то, что египтяне и вавилоняне проводили каждое вычисление по рецепту, которому можно было слепо следовать. Эти рецепты, апробированные не одним поколением, неизменно давали правильное решение, и никому и в голову не приходило усомниться в них или подвергнуть анализу логику, лежащую в их основе. Для египетской и вавилонской цивилизаций было важно, что вычисления «работают», а почему они работают, неважно.
   После двадцати лет странствий Пифагор собрал и усвоил все математические правила, существовавшие в цивилизованном мире, и отплыл на родину — остров Самос в Эгейском море — с намерением основать школу, члены которой занимались бы изучением философии и в особенности исследованием собранных им математических правил. Пифагор хотел понять числа, а не только вслепую пользоваться ими. Он надеялся, что ему удастся найти достаточное количество свободно мыслящих учеников, которые помогут ему создать радикально новую философию, но за время его отсутствия тиран Поликрат превратил некогда вольный Самос в нетерпимое консервативное общество. Поликрат пригласил Пифагора ко двору, но философ понимал, что это был не более чем маневр с целью заставить его замолчать, и под благовидным предлогом отклонил предложенную честь. Пифагор покинул город и поселился в пещере, расположенной в отдаленной части острова, где он мог свободно предаваться размышлениям, не опасаясь преследований.
   Пифагор был настолько одинок, что в конце концов был вынужден подкупить юношу, чтобы тот согласился стать его учеником. Кем был этот юноша, неизвестно, но некоторые историки высказывают предположение, что его также звали Пифагором и что позднее именно он прославился тем, что посоветовал атлетам есть мясо, чтобы улучшить свои спортивные результаты. Пифагор-учитель платил своему ученику по три обола за каждый урок, который тот посещал. По прошествии нескольких недель он заметил, что упорное нежелание юноши учиться превратилось в любовь к знанию. Чтобы испытать своего ученика, Пифагор сделал вид, что не в состоянии платить ему и что уроки придется прекратить. В ответ ученик предложил сам оплачивать уроки, но просил покинуть колонию.
   Пифагор отправился в южную Италию, бывшую тогда частью Древней Греции, и поселился в Кротоне, где ему посчастливилось найти идеального покровителя в лице Мило, самого богатого человека в Кротоне и одного из сильнейших людей в истории. Хотя слава Пифагора как мудреца с острова Самос распространилась по всей Греции, слава Мило была еще больше. Мило был сложен, как Геркулес, и двенадцать раз завоевывал титул чемпиона Олимпийских и Пифийских игр. Помимо занятий атлетикой Мило высоко ценил философию и математику и занимался их изучением. Он предоставил Пифагору достаточно большую часть своего дома для того, чтобы тот мог основать школу. Так самый творчески мысливший разум и самое мощное тело стали партнерами.
   Чувствуя себя в безопасности в своем новом доме, Пифагор основал пифагорейское братство — группу из шестисот последователей, способных не только понять его учения, но и добавить к ним новые идеи и доказательства. Вступая в братство, каждый последователь Пифагора должен был пожертвовать в общий фонд все свое состояние. Каждый, кто покидал братство, получал сумму вдвое большую, чем первоначальное пожертвование, и в память о нем воздвигалась надгробная плита. Пифагорейское братство было эгалитарной школой, и среди учащихся были не только мужчины, но и несколько женщин. Любимой ученицей Пифагора была дочь Мило — прекрасная Теано. Несмотря на большую разницу в возрасте Пифагор и Теано в конце концов поженились.
   Вскоре после основания братства Пифагор придумал слово «философ» и тем самым провозгласил цели школы. Во время Олимпийских игр Леон, правитель Флиуса, спросил Пифагора, как бы тот охарактеризовал себя. Пифагор ответил: «Я философ», но Леону не приходилось прежде слышать этого слова, и он попросил Пифагора объяснить, что оно означает.
   «Жизнь, правитель Леон, можно уподобить происходящим сейчас Олимпийским играм: в собравшейся здесь огромной толпе одних привлекает выгода, которую они надеются извлечь, других — надежды и честолюбивые замыслы, они надеются обрести известность и славу. Но есть среди них немного и таких, кто пришел сюда, чтобы увидеть и понять все, что здесь происходит.
   То же самое относится и к жизни. Одни обуяны любовью к благосостоянию, другие слепо следуют безумной лихорадочной жажде власти и господства, но лучший из людей посвящает себя познанию смысла и цели самой жизни. Он стремится раскрыть тайны природы. Такого человека я называю философом, ибо хотя ни один человек не может постичь всю мудрость мира, он может любить мудрость как ключ к тайнам природы».
   Хотя многие знали о намерениях Пифагора, никто за пределами братства не знал, чем именно занимаются Пифагор и его ученики. Каждый член школы приносил торжественную клятву никогда, ни под каким видом, не разглашать посторонним математические открытия братства. Даже после смерти Пифагора один из членов братства был утоплен за то, что он нарушил клятву, — публично заявил об открытии нового правильного тела, додекаэдра, ограниченного двенадцатью правильными пятиугольниками. Множество мифов о странных ритуалах, совершавшихся членами братства, и немногочисленность надежных сведений об их математических достижениях — следствие той доведенной до предела таинственности, которой окружали себя пифагорейцы.
   Достоверно известно, что Пифагор установил этос, изменивший ход развития математики. По существу пифагорейское братство было религиозным сообществом, и одним из идолов, которым поклонялись пифагорейцы, было Число. Пифагорейцы полагали, что постигая соотношения между числами, они смогут раскрыть духовные тайны Вселенной и тем самым приблизиться к богам. Особое внимание члены братства уделяли натуральным числам (1, 2, 3…) и дробям. Натуральные числа вместе с дробями (отношениями этих чисел) на языке профессиональных математиков принято называть рациональными числами. Среди бесконечного множества чисел пифагорейцы высматривали те, которые имеют особое значение. Среди наиболее значимых для них чисел были так называемые «совершенные» числа.
   По мнению Пифагора, совершенство числа зависит от его делителей (т. е. тех чисел, которые делят без остатка исходное число). Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, и 6. Если сумма делителей числа больше самого числа, то такое число называется «избыточным». Например, 12 — избыточное число, так как сумма его делителей равна 16.
   С другой стороны, если сумма делителей числа меньше самого числа, то такое число называется «недостаточным». Например, 10 — недостаточное число, так как сумма его делителей (1, 2 и 5) равна лишь 8.
   Числа, сумма делителей которых в точности равна самому числу, пифагорейцы считали особенно важными. Такие числа они называли совершенными. Например, число 6 имеет делителями 1, 2 и 3 и, следовательно, совершенно, так как 1+2+3 = 6. Следующее совершенное число равно 28, так как
   1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
   Совершенный характер чисел 6 и 28, имевший столь большое математическое значение для пифагорейцев, был признан и другими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней.
   В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».
   По мере того, как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются все реже. Третье совершенное число 496, четвертое — 8 128, пятое — 33 550 336, шестое — 8 589 869 056. Пифагор заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами. Например, совершенные числа всегда равны сумме нескольких последовательных натуральных чисел. В самом деле,
   6 = 1 + 2 + 3,
   28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,
   496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 30 + 31,
   8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 126 + 127.
   Пифагор забавлялся совершенными числами, но не довольствовался одним лишь коллекционированием таких чисел. Он мечтал открыть их более глубокое значение. Одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа 4=2·2, 8=2·2·2, 16=2·2·2·2 и т. д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2n, где n означает число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа. Иначе говоря, все степени двойки слегка недостаточны:
   22 = 2·2 = 4, делители 1, 2, сумма 3,
   23 = 2·2·2 = 8, делители 1, 2, 4, сумма 7,
   24 = 2·2·2·2 = 16, делители 1, 2, 4, 8, сумма 15,
   25 = 2·2·2·2·2 = 32, делители 1, 2, 4, 8, 16, сумма 31.
    Двумя столетиями спустя Евклид уточнил замеченную Пифагором взаимосвязь между двоичностью и совершенством. Евклид открыл, что совершенные числа всегда кратны двум числам, одно из которых равно степени числа 2, а другое на единицу меньше следующей степени числа 2:
   6 = 21·(22 — 1),
   28 = 22·(23 — 1),
   496 = 24·(25 — 1),
   8128 = 26·(27 — 1).
   Современные компьютеры позволили продолжить поиск совершенных чисел и обнаружить чудовищно большие экземпляры таких чисел, например, 2216090·(2216091 — 1). Это число содержит более 130 000 цифр и подчиняется правилу Евклида.
   Пифагор восхищался разнообразием структуры и свойствами совершенных чисел и с почтением относился к их тонкости и коварству. На первый взгляд, совершенство — свойство, сравнительно простое для понимания. Тем не менее, древние греки так и не сумели постичь некоторые фундаментальные особенности совершенных чисел. Так, хотя они знали множество слегка недостаточных чисел (т. е. чисел сумма делителей которых на единицу меньше самого числа), им не удалось найти слегка избыточное число (т. е. число сумма делителей которого на единицу больше самого числа). Они не сумели также доказать, что таких чисел не существует.
   Хотя никакого практического значения эта задача не имела, ее решение могло бы прояснить природу совершенных чисел, и поэтому она заслуживала изучения. Такого рода загадки интриговали пифагорейское братство, и спустя две с половиной тысячи лет математики все еще не могут доказать, что слегка избыточные числа не существуют.

Всё сущее есть число

   Помимо изучения соотношений между числами Пифагора интересовала взаимосвязь между числами и природой. Он понимал, что природные явления подчиняются законам, а эти законы описываются математическими соотношениями. Одним из первых открытий Пифагора стало фундаментальное соотношение между гармонией в музыке и гармонией чисел.
   Самым важным инструментом в древнегреческой музыке был тетрахорд, или четырехструнная лира. И до Пифагора музыканты ценили те ноты, которые при совместном звучании создавали приятный эффект, и настраивали свои лиры так, чтобы при пощипывании двух струн возникала гармония. Но музыканты не понимали, почему те или иные сочетания нот гармоничны, и не обладали объективной системой для настройки своих инструментов. Лиры они настраивали только по слуху, пока не устанавливалось гармоническое звучание струн, — с помощью процесса, который Платон называл пыткой настроечных колков.
   Ямвлих, ученый, живший в IV веке и написавший девять книг о пифагорейском братстве, рассказывает о том, как Пифагор пришел к открытию принципов, лежащих в основе музыкальной гармонии.
   «Однажды Пифагор был глубоко погружен в размышления о том, как бы изобрести механическое устройство для слуха, которое было бы надежным и незамысловатым. Такое устройство было бы подобно циркулям, линейкам и оптическим инструментам, измышленным для зрения… Божественная удача распорядилась так, что Пифагор проходил как-то раз мимо кузницы, в которой работали кузнецы, и услышал удары молотков о железо, производивших во всех комбинациях, кроме одной, разнообразные гармонические звуки».
   Как рассказывает далее Ямвлих, Пифагор, сгорая от нетерпения, вбежал в кузницу, чтобы выяснить, как возникает гармония молотов. Он заметил, что большинство молотов, если ими ударить одновременно, порождают гармоническое звучание, но одна комбинация молотов всегда порождала неприятное звучание. Рассмотрев хорошенько молоты, Пифагор понял, что те, которые издавали гармоническое звучание, находились в простом математическом отношении: их массы образовывали друг с другом простые отношения, или дроби. Иначе говоря, молоты, вес которых составляет половину, две трети или три четверти веса какого-то определенного веса, порождают гармонические звучания. С другой стороны, молот, порождающий дисгармонию (если ударить им одновременно с любым из других молотов), имеет вес, не образующий простого отношения с весом любого из других молотов.
   Пифагор открыл, что простые отношения чисел отвечают за гармонию в музыке. Ученые усомнились в правдивости истории, рассказанной Ямвлихом о Пифагоре. Более достоверно известно, что Пифагор применил свою новую теорию музыкальных отношений к лире, рассматривая свойства одной струны. Если просто ущипнуть струну, то возникает стандартная нота, или тон, который создается всей длиной колеблющейся струны. Зажав струну в определенных точках, можно породить другие колебания и тоны, как показано на рис. 1. Важно то, что гармонические тона возникают только при зажиме струны в определенных точках.
   Например, зажав струну точно посередине и затем ущипнув ее, мы получим тон октавой выше в гармоническом созвучии с первоначальном тоном. Если струну зажать на расстоянии одной трети, четверти или пятой длины от конца, то получатся другие гармонические тона. Но стоит зажать струну в точке, отстоящей от конца на расстоянии, не образующем простую дробь с длиной струны, как издаваемый струной звук не будет гармонировать с другими тонами.
    Рис. 1. Свободно колеблющаяся открытая струна издает основной тон. Если точно посредине струны создать узел колебания, то издаваемая струной нота станет на октаву выше и будет гармонировать с исходной нотой. Другие гармоники мы получим, перемещая узел в другие положения, соответствующие простым дробям (например, трети, четвертой или пятой части) от полной длины струны

   Пифагор впервые открыл математическое правило, которому подчиняется физическое явление, и показал тем самым, что между математикой и физикой существует фундаментальная взаимосвязь. Со времени этого открытия ученые стали заниматься поиском математических правил, которым, судя по всему, подчиняется каждый физический процесс в отдельности, и обнаружили, что числа возникают во всех явлениях природы.
   Например, некоторое число входит в закономерность, которой подчиняются длины рек. Профессор Ханс-Хенрик Стоун, специалист по физике Земли из Кембриджского университета, вычислил отношение между истинной длиной реки от истока до устья и расстоянием «по прямой», как могла бы лететь птица. И хотя это отношение варьируется от реки к реке, его среднее значение лишь немногим больше 3, т. е. истинная длина реки примерно в 3 раза больше расстояния от источников до устья по прямой.
   В действительности это отношение примерно равно 3,14, что близко к значению числа π — отношению длины окружности к ее диаметру. Число π первоначально возникло в геометрии окружностей, но появляется снова и снова при самых различных обстоятельствах во многих разделах науки.
   Например, появление числа π в отношении истинной длины реки от истоков до устья к расстоянию от ее истоков до устья по прямой — результат борьбы между порядком и хаосом. Эйнштейн первым высказал предположение о том, что реки имеют тенденцию ко все более извилистому руслу, так как малейшее искривление русла приводит к ускорению течения у «наружного» берега, что в свою очередь приводит к ускорению эрозии берега и увеличению крутизны поворота. Чем круче поворот, тем быстрее течение у «наружного» берега; чем быстрее течение, тем сильнее эрозия; чем сильнее эрозия, тем круче поворот реки, и т. д.
   Однако, существует в природе процесс, который укрощает хаос: увеличение извилистости русла приводит к появлению петель и, наконец, к «короткому замыканию» русла: река спрямляет русло, а замкнутая петля, оставшаяся в стороне от русла, становится старицей. Баланс между этими двумя противоположными факторами приводит к близкому к π среднему значению отношения истинной длины реки и расстоянием между истоками и устьем по прямой. Отношение равное π чаще всего встречается у рек, текущих по равнинам с очень слабым уклоном. Таковы, например, реки Бразилии и Сибири.
   Пифагор понял, что всюду, от гармонии в музыке до планетных орбит, скрыты числа, и это открытие позволило ему сформулировать афоризм: «Все сущее есть Число». Постигая смысл и значение математики, Пифагор разрабатывал язык, который позволил бы и ему самому, и другим описывать природу Вселенной. С тех пор каждое существенное продвижение в математике давало ученым словарь, необходимый для лучшего объяснения явлений в окружающем мире. Не будет преувеличением сказать, что успехи математики порождали коренные сдвиги в естествознании.
   Исаак Ньютон был не только открывателем закона всемирного тяготения, но и выдающимся математиком. Его величайшим вкладом в математику стало создание математического анализа — дифференциального и интегрального исчисления. Позднее физики использовали язык математического анализа для более точного описания закона всемирного тяготения и решения задач, связанных с гравитацией. Созданная Ньютоном классическая теория гравитации пережила века и уступила место общей теории относительности Альберта Эйнштейна, давшего новое, более подробное объяснение гравитации. Идеи самого Эйнштейна стали возможными только благодаря новым математическим понятиям, позволившим ему развить более изощренный язык для своих более сложных (по сравнению с ньютоновскими) научных идей. Современная интерпретация гравитации также стала возможной под влиянием последних достижений математики. Новейшие квантовые теории гравитации связаны с успехами математической теории струн, в которой геометрические и топологические свойства трубок наилучшим образом объясняют силы природы.
   Из всех взаимосвязей между числами и природой, изученных членами пифагорейского братства, наиболее важным стало соотношение, которое ныне носит имя основателя братства. Теорема Пифагора дает нам соотношение, которое выполняется для всех прямоугольных треугольников и, следовательно, определяет прямой угол. В свою очередь, прямой угол определяет перпендикуляр, т. е. отношение вертикали к горизонтали, а в конечном счете — отношение между тремя измерениями нашего мира. Математика — через прямой угол — определяет самую структуру пространства, в котором мы живем. Это очень глубокая мысль.
   Между тем, формулировка теоремы Пифагора сравнительно проста. Действительно, чтобы понять ее, нужно прежде всего измерить длину двух более коротких сторон (x и y), — так называемых катетов, — прямоугольного треугольника, и каждую из полученных длин возвести в квадрат (x2 и y2). Затем нужно сложить квадраты длин (x2 + y2). Для треугольника, изображенного на рис. 2, сумма равна 25.
 x = 3, y = 4, z = 5
x2 + y2 = z2
9 + 16 = 25
Рис. 2
    Теперь вы можете измерить длину наибольшей стороны z — так называемой гипотенузы — и возвести полученное число в квадрат. Самое замечательное заключается в том, что число z2 совпадает с вычисленной вами ранее суммой, т. е. 52 = 25. Иначе говоря, в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.
   Иными словами (точнее, символами), теорема Пифагора утверждает, что
x2 + y2 = z2
   Ясно, что это соотношение выполняется для треугольника на рис. 2, но суть теоремы Пифагора в том, что это равенство остается в силе для любого прямоугольного треугольника, какой вы только можете себе представить. Это — универсальный закон математики, и вы можете положиться на него всякий раз, когда вам доведется встретить треугольник, содержащий прямой угол. И обратно, стоит вам встретить треугольник, удовлетворяющий теореме Пифагора, как вы можете быть абсолютно уверенными в том, что перед вами прямоугольный треугольник.
   Уместно заметить, что, хотя теорема, о которой идет речь, навсегда связана с именем Пифагора, китайцы и вавилоняне использовали ее на тысячу лет раньше. Однако ни китайские, ни вавилонские геометры не знали, что эта теорема выполняется для любого прямоугольного треугольника. Теорема, получившая впоследствии название теоремы Пифагора, оказалась верной для любого прямоугольника, на котором китайцы и вавилоняне могли ее проверить, но они не знали, как показать, что она будет справедлива для всех тех прямоугольных треугольников, которые они не подвергли проверке. Причина, по которой теорему стали называть теоремой Пифагора, заключается в том, что именно он доказал ее универсальную истинность.
   Но каким образом Пифагор узнал, что его теорема верна для любого прямоугольного треугольника? Он не мог надеяться на то, что ему удастся проверить бесконечно много разнообразнейших прямоугольных треугольников, и тем не менее Пифагор сумел обрести уверенность «на все сто процентов» в том, что его теорема — абсолютная истина. Причина его уверенности — в понятии математического доказательства. Поиск математического доказательства — это поиск знания, более точного, чем знание, накопленное какой-нибудь другой научной дисциплиной. Жажда постичь абсолютную истину с помощью метода доказательства двигала математиками на протяжении двух с половиной тысяч лет.

Абсолютное доказательство

   История Великой теоремы Ферма — это история поиска недостающего доказательства. Математическое доказательство гораздо мощнее и строже, чем представление о доказательстве, которым мы пользуемся в нашем повседневном языке, и даже чем то представление о доказательстве, которого придерживаются физики или химики. Понимание различия между естественнонаучным и математическим доказательствами имеет решающее значение для осознания того, чем занимается каждый математик со времен Пифагора.
   Классическое математическое доказательство начинается с серии аксиом — утверждений, которые можно предположить истинными или истинность которых самоочевидна. Затем с помощью логических рассуждений, шаг за шагом, можно прийти к заключению. Если аксиомы истинны, а логика безупречна, то заключение безупречно. Этим заключением и является теорема.
   Математические теоремы опираются на такой логический процесс и, доказанные однажды, они остаются истинными до скончания веков. Математические доказательства абсолютны. Чтобы по достоинству оценить значительность абсолютных доказательств, их следует сравнить с их «бедным родственником» — естественнонаучным доказательством, принятым, например, в физике.
   В физике гипотеза выдвигается для объяснения какого-нибудь физического явления. Если наблюдения за явлением хорошо согласуются с гипотезой, то это свидетельствует в ее пользу, или, как принято говорить, подкрепляет выдвинутую гипотезу. Кроме того, гипотеза должна не только описывать известные процессы, но и предсказывать исход других процессов.
   Для проверки предсказательной силы гипотезы могут проводиться эксперименты, и если они оказываются успешными, то это еще сильнее подкрепляет гипотезу. В конце концов, количество данных, свидетельствующих в пользу гипотезы, может оказаться достаточно большим, и гипотезу принимают в качестве физической теории.
   Однако физическая теория никогда не может быть доказана на уровне, столь же абсолютном, как тот, на котором принято доказывать математические теоремы: на основе имеющихся данных физическую теорию можно считать обоснованной лишь с большей или меньшей вероятностью. Так называемое физическое, или, более общо, естественнонаучное доказательство, основано на наблюдениях и данных, доставляемых нашими органами чувств. И те, и другие обманчивы и дают лишь приближение к истине. Как заметил Бертран Рассел: «Хотя это может показаться парадоксом, все точные науки пронизаны идеей приближения».
   Даже наиболее широко признанные естественнонаучные «доказательства» неизменно содержат в себе небольшой элемент сомнения. Иногда сомнение становится меньше; но оно никогда не исчезает полностью. Иногда выясняется, что предложенное доказательство неверно. Слабость физического доказательства приводит к научным революциям, во время которых на смену одной теории, считавшейся «верной» приходит другая теория, которая может быть всего лишь уточнением прежней теории, а может полностью противоречить ей.
   Например, в поиске фундаментальных частиц материи каждое поколение физиков «перепахивало» или, по крайней мере, уточняло и усовершенствовало теорию своих предшественников. Современный этап поиска мельчайших «кирпичиков», из которых построена Вселенная, начался в первые годы XIX века, когда в результате серии экспериментов Джон Дальтон пришел к гипотезе о том, что все в мире состоит из отдельных атомов и что эти атомы — мельчайшие частицы материи.
   В конце XIX века Дж. Дж. Томсон открыл электрон — первую известную субатомную частицу, и атом перестал быть мельчайшей частицей материи.
   В начале XX века физики построили «полную» теорию атома: вокруг ядра, состоящего из протонов и нейронов, обращаются электроны. Протоны, нейроны и электроны были горделиво провозглашены физиками полным набором ингредиентов, из которых состоит Вселенная. Затем анализ космических лучей обнаружил существование других элементарных частиц — пионов и мюонов. Еще больший переворот в физике произошел в 1932 году, когда было открыто антивещество — существование антипротонов, антинейтронов, антиэлектронов и т. д. К тому времени физики, занимавшиеся изучением элементарных частиц, не могли с уверенностью сказать, сколько существует различных частиц, но по крайней мере утверждали, что обнаруженные частицы действительно элементарны, т. е. неделимы. Так продолжалось до 60-х годов, когда появилось понятие кварка. Протон, так же, как нейтрон, пион и мюон, оказался состоящим из кварков, несущих электрический заряд, равный дробной части заряда электрона. Мораль всей этой истории в том, что физики непрестанно меняют свою картину мира, а иногда даже стирают ее совсем и начинают рисовать с самого начала. В следующем десятилетии самое представление о частице как о точечном объекте может претерпеть замену на представление о частицах как о струнах — тех самых струнах, которые, возможно, послужат наилучшему объяснению гравитации. Согласно теории струн, трубки длиной в одну миллиардную миллиардной миллиардной миллиардной метра (такие маленькие, что они кажутся точками) могут совершать различные колебания, и каждое такое колебание порождает определенную частицу. Такое представление аналогично открытию Пифагора, обнаружившего, что одна струна лиры может порождать различные ноты в зависимости от того, как она колеблется.
   Писатель-фантаст и футуролог Артур Кларк писал, что если какой-нибудь знаменитый профессор утверждает, будто нечто несомненно истинно, то весьма вероятно, что на следующий день это нечто окажется ложным. Физическое доказательство ненадежно и шатко. В то же время математическое доказательство абсолютно и лишено и тени сомненья. Пифагор умер в полной уверенности, что его теорема, бывшая истиной в 500 году до н. э., останется истинной навсегда.
   Физика живет, словно подчиняясь решению суда. Теория считается верной, если имеется достаточное количество данных, «неопровержимо» подтверждающих ее предсказания. Иное дело — математика. Она не полагается на данные, полученные в результате могущих оказаться ошибочными экспериментов, а строит свои заключения на основе «железной», т. е. не знающей ошибок, логики. Примером различия между физическим и математическим подходом может служить задача о шахматной доске с выпиленными угловыми полями (рис. 3).
Рис. 3
   Перед нами шахматная доска, от которой два противоположных угловых поля отпилили так, что осталось только 62 поля. Возьмем 31 кость домино таких размеров, что каждая кость накрывает ровно два шахматных поля. Вопрос: можно ли разложить 31 кость домино на шахматной доске так, что все 62 поля окажутся покрытыми домино? К решению задачи существуют два подхода.

   1) Физический подход
   Физик пытается решить задачу экспериментально и, перепробовав с дюжину различных вариантов размещения домино на шахматной доске обнаруживает, что все они заканчиваются неудачей.
   В конце концов физик приходит к убеждению, что в его распоряжении достаточно данных, позволяющих утверждать, что покрыть шахматную доску с двумя выпиленными по диагонали угловыми полями невозможно. Однако физик не может быть до конца уверен в том, что это действительно так, потому что может найтись некоторое расположение домино на шахматной доске, которое не было им экспериментально обнаружено, но именно оно и дает решение задачи. Различных же вариантов расположения домино существует не один миллион, и экспериментально проверить всегда можно лишь малую их толику. Что же касается заключения задачи, то это — теория, основанная на эксперименте, и физику не остается ничего другого, как жить под угрозой, что в один «прекрасный» день эта теория может оказаться отвергнутой.

   2) Математический подход
   Математик стремится решить задачу, выстраивая цепочку логических аргументов, приводящую к заключению, вне всяких сомнений правильному и остающемуся безупречным навсегда. Одна из таких цепочек логических аргументов выглядит следующим образом.
   - Оба угловых поля, выпиленные из доски, — белые. Следовательно на доске остались 32 черных поля и только 30 белых поля.
   - Каждое домино покрывает два смежных поля, а смежные поля всегда отличаются по цвету, т. е. одно поле черное, а другое — белое.
   - Следовательно, независимо от расположения домино на шахматной доске, первые 30 костей, выложенных на доску, должны покрыть 30 белых и 30 черных полей.
   - Это означает, что при любом раскладе всегда останется одна домино и два непокрытых черных поля.
   - Но любая кость домино покрывает на шахматной доске два смежных поля, а смежные поля всегда отличаются по цвету. Два оставшихся непокрытыми поля одного цвета, и поэтому накрыть их одной костью домино невозможно. Следовательно, покрыть эту доску 31 костью домино невозможно!
   Приведенное выше доказательство показывает, что шахматную доску с двумя выпиленными по диагонали угловыми полями невозможно покрыть домино при любом расположении костей. Аналогичным образом, Пифагор создал доказательство, из которого следует, что любой прямоугольный треугольник удовлетворяет его теореме. Для Пифагора понятие математического доказательства было священным, и именно математическое доказательство позволило пифагорейскому братству открыть так много. Большинство современных доказательств невероятно сложны, и разобраться в них неспециалисту просто не по силам. В случае теоремы Пифагора ход рассуждений, к счастью, достаточно прост и опирается только на математику, которую изучают в средней школе. Доказательство теоремы Пифагора изложено в Приложении 1.
   Доказательство Пифагора неопровержимо. Оно показывает, что теорема Пифагора выполняется для любого прямоугольного треугольника во Вселенной. Открытие это так потрясло Пифагора, что он в благодарность принес в жертву богам сто быков. [1] Оно стало вехой в развитии математики и одним из самых важных прорывов в истории цивилизации. Значение этого открытия было двояким.
   Во-первых, оно позволило сформулировать представление о том, что такое доказательство. Доказанный математический результат обладает более глубокой истинностью, чем любая другая истина, поскольку получен шаг за шагом с помощью логических рассуждений. Хотя философ Фалес Милетский еще до работ Пифагора использовал несколько простых геометрических доказательств, Пифагор развил идею математического доказательства гораздо дальше и сумел доказать более хитроумные математические утверждения.
   Во-вторых, теорема Пифагора устанавливает связь между абстрактным математическим методом и чем-то осязаемым. Пифагор показал, что математическая истина приложима к физическому миру и служит его логическим основанием. Математика дает физике строгое начало, а затем, к этому незыблемому основанию физики добавляются наблюдения и измерения, отягощенные ошибками.

Бесконечное количество пифагоровых троек

   Пифагорейцы своим страстным поиском истины с помощью доказательства вдохнули в математику живительную силу. Вести о достигнутых ими успехах распространились по всему Древнему Миру, хотя подробности своих открытий пифагорейцы хранили в строгой тайне. От желающих проникнуть в святилище знания не было отбоя, но только самые блестящие умы могли рассчитывать на прием в братство. Один из тех, кому ответили отказом, был кандидат по имени Силон. Он затаил обиду на унизительный отказ и спустя двадцать лет взял реванш.
   Во время шестьдесят седьмой Олимпиады (510 год до н. э.) в соседнем городе Сибарисе произошло восстание. Телис, победоносный лидер восстания, начал варварскую кампанию преследования сторонников прежнего правительства, которая заставила многих из них искать убежища в Кротоне. Телис потребовал, чтобы предателей вернули в Сибарис, чтобы те понесли наказание, но по призыву Мило и Пифагора жители Кротона выступили против тирана в защиту беглецов. Телис пришел в ярость и, быстро собрав армию численностью в 300000 воинов, пошел маршем на Кротон, оборону которого возглавил Мило, собравший под своим началом 100000 вооруженных жителей города. На семидесятый день войны защитники Кротона под предводительством Мило одержали победу. В качестве возмездия Мило приказал повернуть воды реки Кратис так, чтобы они затопили Сибарис и разрушили город.
   Война окончилась, но Кротон бурлил: жители спорили о том, как по справедливости разделить военные трофеи. Опасаясь, что земли достанутся пифагорейской элите, рядовые жители Кротона начали ворчать. Недовольство все более возрастало, так как пифагорейское братство продолжало удерживать в тайне свои открытия, но никаких действий жители Кротона не предпринимали до тех пор, пока в дело не вмешался Силон. Сыграв на страхах, умопомешательстве и зависти толпы, Силон возглавил ее и повел, чтобы разрушить самую блестящую математическую школу, которую когда-либо знал мир. Дом Мило и соседняя школа были окружены. Все двери были закрыты и забаррикадированы, чтобы те, кто находились внутри, не могли спастись, а затем оба здания были подожжены. Мило сумел вырваться из ада и убежать, а Пифагор вместе со своими многочисленными учениками был убит.
   Математика потеряла своего первого героя, но пифагорейский дух не был сокрушен. Числа и математические истины бессмертны. Пифагор показал, что математика в большей степени, чем какая-нибудь другая научная дисциплина, лишена субъективности. Его ученикам и последователям не был нужен учитель, чтобы решить, верна ли та или иная теория. Истинность математической теории не зависит от чьего бы то ни было мнения. Арбитром вместо мнения стала логичность математической конструкции. Величайшим вкладом Пифагора в цивилизацию стал способ достижения истины, не подвластный ошибочности человеческого суждения. После нападения Силона и смерти своего отца-основателя, пифагорейцы покинули Кротон и разбрелись по другим городам Древней Греции.
   Но преследования продолжались, и в конце концов многие пифагорейцы были вынуждены поселиться на чужбине. Вынужденная эмиграция способствовала тому, что пифагорейцы распространили свое математическое учение по всему Древнему Миру. Ученики и последователи Пифагора основали новые школы и обучили своих учеников методу логического доказательства. Помимо известного им доказательства теоремы Пифагора они поведали миру секрет нахождения так называемых пифагоровых троек.
   Пифагоровы тройки представляют собой комбинации из трех целых чисел, удовлетворяющих соотношению Пифагора x2 + y2 = z2. Например, соотношение Пифагора выполняется при x=3, y=4 и z=5:
   З2 + 42 = 52, 9 + 16 = 25
   Другой способ получения пифагоровых троек — перестройка квадратов. Если взять квадрат 3×3, состоящий из 9 квадратных плиток, и квадрат 4×4, состоящий из 16 плиток, то все эти плитки можно расположить по-новому, так, чтобы они образовывали квадрат 5×5, состоящий из 25 плиток (рис. 4).
+
=
З2 + 42 = 52
 9 + 16 = 25
Рис. 4
   Пифагорейцы мечтали найти и другие пифагорейские тройки, другие квадраты, из которых можно было бы сложить третий квадрат больших размеров. Еще одна пифагорова тройка: x=5, y=12 и z=13:
   52 + 122 = 132, 15 + 144 = 169.
   Приведем пифагорову тройку из больших чисел: x=99, y=4900 и z=4901. По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются все реже и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много.

От теоремы Пифагора до Великой теоремы Ферма

   О теореме Пифагора и бесконечном числе пифагоровых троек шла речь в книге Э.Т. Белла «Великая проблема» — той самой библиотечной книге, которая привлекла внимание Эндрю Уайлса. И хотя пифагорейцы достигли почти полного понимания пифагорейских троек, Уайлс скоро обнаружил, что у невинного на первый взгляд уравнения x2 + y2 = z2 имеется и темная сторона — в книге Белла давалось описание математического чудовища.
   В уравнение Пифагора входят три числа x, y и z, все три числа входят в квадрате (например, x2 = x·x):
x2 + y2 = z2
   Но в той же книге Белла приводилось и уравнение, очень похожее на уравнение Пифагора, но отличающееся от него тем, что все числа входят в кубе (например, x3 = x·x·x). Так называемая степень переменной x в этом уравнении равна не 2, а 3:
x3 + y3 = z3
   Найти целочисленные решения уравнения Пифагора, т. е. пифагоровы тройки, было сравнительно легко, но стоит лишь степени измениться с 2 на 3 (т. е. заменить квадраты кубами), как решение уравнения, столь похожего на уравнения Пифагора, в целых числах, по-видимому, становится невозможным. Поколения математиков исписывали страницу за страницей в своих блокнотах в тщетной надежде найти решение уравнения в целых числах.
   При решении исходного «квадратного» уравнения плитки, из которых состояли два квадрата, требовалось расположить так, чтобы они образовывали третий квадрат более крупных размеров. В случае решения «кубического» уравнения из кубиков, образующих два куба, требуется составить третий куб более крупных размеров. Ясно, что независимо от того, какие два куба выбраны в качестве исходного, из образующих их кубиков можно сложить либо третий куб, причем несколько кубиков останутся «лишними», либо неполный (недостроенный) куб. Ближайшим к идеальному кубу будет такая кладка, в которой один кубик останется лишним или окажется недостающим. Например, если мы начнем с кубов 63 и 83 то, рассыпав их на кубики, сможем сложим из них кладку, в которой всего лишь одного кубика не хватит до полного куба 93 (рис. 5).
+
=
63 + 83 = 93 - 1
216 + 512 = 729 - 1
Рис. 5
   Найти три целых числа, которые в точности удовлетворяют кубическому уравнению, по-видимому, невозможно. Иначе говоря, по-видимому, у уравнения
x3 + y3 = z3
   не существует целочисленных решений. Более того, если степень повысить с 3 (куба) до любого большего целого числа (т. е. до 4, 5, 6…), то найти целочисленное решение такого уравнения, по-видимому, также невозможно. Иначе говоря, у более общего уравнения
xn + yn = zn,
   где n больше 2, решения в целых числах не существует. Всего лишь изменив 2 в уравнении Пифагора на любое целое число бóльшее 2, мы вместо сравнительно легко решаемого уравнения получаем задачу умопомрачительной сложности. Великий математик XVII века француз Пьер де Ферма сделал удивительное заключение: он утверждал, что знает, почему никому не удавалось найти решение общего уравнения в целых числах. По его словам, причина заключалась в том, что такого решения не существует.
   Ферма был одним из наиболее блестящих и загадочных математиков в истории. Как и всякий другой, он не мог проверить бесконечно много чисел, но был абсолютно уверен в том, что не существует тройки целых чисел, которая удовлетворяла бы общему уравнению, так как его уверенность опиралась на доказательство. Подобно Пифагору, которому вовсе не требовалось проверить все мыслимые треугольники, чтобы убедиться в правильности своей теоремы, у Ферма не было необходимости перепробовать все мыслимые тройки целых чисел, чтобы убедиться в справедливости его теоремы.
   Прочитав всю книгу Э.Т. Белла от корки до корки, Уайлс узнал, как Ферма был восхищен теоремой Пифагора и ее доказательством, и как сам постепенно увлекся изучением «испорченного» уравнения Пифагора. Прочитав о том, как Ферма провозгласил, что даже если математики всего мира потратят целую вечность, чтобы найти решение уравнения, носящего ныне его имя, в целых числах, то и тогда им не удастся найти ни одного решения. Уайлс в нетерпении перевернул несколько страниц, предвкушая удовольствие от разбора доказательства Великой теоремы Ферма, но тщетно: доказательства не было. Не было его не только в книге Э.Т. Белла, но и нигде. В конце книги говорилось, что найденное Ферма доказательство давно утеряно. Никаких указаний, намеков или догадок относительно того, как можно было бы восстановить доказательство или построить его заново не было. Уайлс был заинтригован, разъярен и озадачен. По крайней мере, он находился в хорошей компании.
   Более 300 лет многие из крупнейших математиков пытались вновь открыть утерянное доказательство Ферма, но тщетно. С неудачей очередного поколения следующее поколение испытывало все большее разочарование и решимость. В 1742 году, почти через сто лет после смерти Ферма, швейцарский математик Леонард Эйлер обратился к своему другу Клеро с просьбой поискать в доме Ферма, не осталось ли где-нибудь клочка бумаги с жизненно важным фрагментом доказательства. Но никому никогда не удалось найти ни малейшего намека относительно того, каким могло быть доказательство Ферма. В гл. 2 мы узнаем более подробно о загадочной фигуре Пьера де Ферма, и о том, как было утеряно доказательство. А пока мы ограничимся лишь тем, что скажем: Великая теорема Ферма, проблема, над решением которой математики ломали головы на протяжении столетий, захватила воображение юного Эндрю Уайлса.
   Десятилетний мальчик в библиотеке на Милтон-роуд не мог оторвать взгляда от самой знаменитой проблемы математики. Обычно при решении математической задачи понять уравнение означает половину дела. Но формулировка теоремы Ферма очень проста: требуется доказать, что уравнение xn + yn = zn не имеет решения в целых числах при n больше 2. Эндрю не смущало, что самые блестящие умы на Земле потерпели фиаско, пытаясь заново открыть доказательство Ферма. Уайлс немедленно принялся за работу, пытаясь с помощью всей премудрости, которую он только мог извлечь из учебников математики, восстановить утраченное доказательство. А что если ему удастся сделать то, что не удалось никому, кроме Ферма? Обнаружить то, что все проглядели? Уайлс мечтал потрясти мир.
   И через тридцать лет Эндрю Уайлсу действительно удалось осуществить задуманное. В аудитории Института сэра Исаака Ньютона он, покрыв всю доску вычислениями и с трудом сдерживая торжество, обернулся лицом к аудитории. Его лекция достигла кульминации, и аудитория сознавала, что наступил великий момент. Один или двое из присутствовавших тайком пронесли на лекцию фотоаппараты, и заключительные замечания Уайлса сопровождались вспышками яркого света.
   Держа мел в руке, Уайлс в последний раз повернулся к доске. Последние несколько строк, и доказательство завершено. Впервые за триста лет вызов, брошенный Ферма, получил достойный ответ. Еще несколько камер под блеск вспышек запечатлели исторический момент. Уайлс написал формулировку Великой теоремы Ферма, повернулся к аудитории и сказал: «Думаю, мне следует на этом остановиться».
   23 июня 1993 года Уайлс выступил с лекцией в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже. На снимке вы видите Уайлса через мгновенье после того, как он объявил о найденном им доказательстве Великой теоремы Ферма

   Двести математиков вскочили в едином порыве и зааплодировали. Аплодировали все, даже те, кто встретил весть о полученном результате кривой ухмылкой недоверия. Так три десятилетия спустя Уайлс поверил в то, что ему удалось осуществить свою мечту, и после семи лет работы в полной изоляции решился обнародовать итоги своих тайных вычислений. Но пока радость переполняла собравшихся в Институте Ньютона, трагедия уже была готова разразиться. И Уайлс, радуясь вместе со всеми, кто собрался в аудитории, еще не знал о тех злоключениях, которые не замедлили вскоре последовать.

Глава 2. Создатель Великой проблемы

   Знаете, — признался дьявол, — даже самые лучшие математики на других планетах, а они, должен вам сказать, намного опередили ваших, не решили ее.
   Взять хотя бы того парня на Сатурне, что очень похож на гриб на ходулях. Он в уме решает дифференциальные уравнения в частных производных. Так даже он не справился с этой задачей.
А. Порджес. Дьявол и Саймон Флэгг
   Пьер де Ферма родился 20 августа 1601 года в городе Бомон-де-Ломань на юго-западе Франции. Его отец, Доминик Ферма, был состоятельным торговцем кожей, поэтому Пьер имел счастливую возможность получить престижное образование во французском монастыре Грансельва, а затем, в течение некоторого времени учиться в университете Тулузы. Не сохранилось никаких документов, свидетельствующих о том, что юный Ферма проявил блестящие способности к математике.
   Под давлением семьи Ферма поступил на гражданскую службу и в 1631 году был назначен советником парламента Тулузы (conseiller au Parlement de Toulouse) — заведующим отдела прошений. Если местные жители хотели подать петицию королю по любому вопросу, то сначала им было нужно убедить Ферма и его коллег в важности причин, вынуждающих подавать петицию. Советники осуществляли живую связь между провинцией и Парижем. Помимо этого они были обязаны следить за тем, чтобы в провинциях исполнялись королевские указы, издававшиеся в столице. Ферма плодотворно трудился на своем посту и, судя по всем отзывам, выполнял свои обязанности прилежно, а к просителям относился доброжелательно.
   Кроме того, в обязанности Ферма входил разбор судебных дел. Он занимал достаточно высокий пост для того, чтобы ему поручали ведение наиболее серьезных дел. Оценку его деятельности мы находим в записках английского математика Кенельма Дигби, которому понадобилось по некоторому делу навестить Ферма. В письме к их общему коллеге — Джону Валлису — Дигби сообщает, что их французский коллега чрезвычайно занят неотложными судебными делами, и намеченная встреча не представляется возможной.
   «Правда, — пишет Дигби, — меня угораздило прибыть именно в тот день, когда судьи из Кастра собираются в Тулузе, где он [Ферма] исполняет обязанности Главного судьи Суверенного суда парламента, и с тех пор он занят самыми крупными делами огромной важности. Слушание одного из дел завершилось вынесением Ферма приговора, который наделал много шума. Речь шла об осуждении священника, дурно исполнявшего свои обязанности и приговоренного к сожжению на эшафоте. Тем дело и закончилось. Приговор был приведен в исполнение».
   Ферма регулярно переписывался с Дигби и Валлисом. Как мы увидим далее, эти письма часто были довольно сухими, но они позволяют заглянуть в повседневную жизнь Ферма, в том числе и в его математические изыскания.
   Ферма быстро продвигался по ступеням служебной лестницы и вошел в круг знати, о чем свидетельствует небольшая частица «де», появившаяся перед его именем: Пьер де Ферма. Успешная карьера Ферма связана не столько с его честолюбивыми устремлениями, сколько с его здоровьем. В то время в Европе свирепствовала чума, и те, кто выживал, поднимались по служебной лестнице, занимая места умерших. В 1652 году настал черед и самого Ферма: он тоже заболел чумой и был настолько плох, что его друг Бернар Медон даже известил нескольких коллег о кончине Ферма. Но вскоре Медон исправил свою ошибку в письме к голландцу Николасу Хайнсиусу: «Ранее я сообщил Вам о кончине Ферма. Но он все еще жив, и мы более не опасаемся его смерти, хотя еще совсем недавно считали его среди мертвых. Чума более не свирепствует между нами».
   Помимо риска, которому во Франции XVII века подвергалось его здоровье, Ферма было необходимо выживать в условиях политических опасностей. Его назначение в парламент Тулузы последовало ровно через три года после того, как кардинал Ришелье стал премьер-министром Франции. Это был век заговоров и интриг, и каждый, кто был вовлечен в управление государством даже на провинциальном уровне, должен был с особой осторожностью следить за тем, чтобы не оказаться в хитросплетении махинаций кардинала.
   Ферма избрал стратегию неукоснительного исполнения возложенных на него обязанностей и не беспокоился о себе. У него не было особых политических амбиций, и он делал все от него зависящее, чтобы по возможности оставаться в стороне от кипения парламентских страстей. Всю энергию, которую ему удавалось сохранить после исполнения служебных обязанностей, Ферма отдавал математике, и, когда не нужно было приговаривать священников к сожжению на эшафоте, Ферма с наслаждением предавался своему увлечению. По существу, Ферма был истинным ученым-любителем, человеком, которого Э.Т. Белл назвал «князем любителей». Но математический талант его был столь велик, что Джулиан Кулидж в своей книге «Математика великих любителей» исключил Ферма из числа любителей на том весьма веском основании, что тот «был настолько велик, что должен считаться профессионалом».
   В начале XVII века математика еще только оживала после мрачного Средневековья, и занятия этой наукой в глазах общества котировались не очень высоко. Соответственно, отношение к математикам было лишено должного уважения, и многим математикам приходилось своими силами добывать средства для занятий любимой наукой. Например, Галилей не смог изучать математику в Пизанском университете и был вынужден искать себе частного преподавателя. Единственное учебное заведение в Европе, где математиков активно поощряли, был Оксфордский университет, учредивший в 1619 году Савильянскую кафедру геометрии. По правде сказать, математики XVII века в большинстве своем были любителями, но Ферма был особым случаем. Живя вдали от Парижа, он был изолирован даже от того небольшого математического сообщества которое тогда существовало (а в него входили такие фигуры, как Паскаль, Гассенди, Роберваль, Богран и отец Марен Мерсенн).
   Отец Мерсенн внес небольшой вклад в теорию чисел, и тем не менее в истории математики XVII века он сыграл более важную, хотя и неоднозначную, роль, чем его более признанные и почитаемые коллеги. После вступления в 1611 году в орден минимов Мерсенн изучал математику, а затем преподавал этот предмет другим монахам и монахиням в монастыре ордена в Невере. Восемью годами позже Мерсенн переезжает в Париж и присоединяется к ордену Миним дель'Анносиад, неподалеку от Пале Ройяль — места, где, конечно же, собирались интеллектуалы. Мерсенн встречался с парижскими математиками, но их нежелание обсуждать научные проблемы с ним и между собой опечалило его.
   Замкнутость парижских математиков была традицией, сохранившейся от косситов XVI века. Косситы были знатоками всевозможных вычислений. Купцы и деловые люди прибегали к их услугам для решения сложных задач, возникающих в связи с учетом товаров. Слово «коссит» восходит к итальянскому слову «cosa», означающему «вещь», так как косситы использовали символы для обозначения неизвестных величин, подобно тому, как современные математики обозначают неизвестную величину символом x. Все, кто в ту пору профессионально занимался решением задач, изобретали свои собственные хитроумные методы выполнения вычислений и держали их в тайне, чтобы сохранить свою репутацию единственных в своем роде людей, способных решать задачи того или иного типа.
   Исключением был Никколо Тарталья, придумавший метод быстрого решения кубических уравнений. Он сообщил свое открытие Джироламо Кардано и взял с того клятву, что тот никому не откроет доверенную ему тайну. Через десять лет Кардано нарушил свое обещание и опубликовал метод Тартальи в книге «Ars Magna» (Великое искусство). Этот поступок Тарталья никогда не простил Кардано. Он порвал все отношения с Кардано, а последовавшее затем острое публичное разбирательство только укрепило остальных математиков в решимости хранить свои профессиональные тайны. Скрытный характер математических исследований сохранился до конца XIX века, и, как мы увидим в дальнейшем, имеются отдельные примеры, когда математические гении проводили свои исследования в тайне от коллег даже в XX веке.
   По прибытии в Париж отец Мерсенн вознамерился покончить с обычаем математиков проводить исследования в тайне от своих коллег и стал всячески способствовать обмену идей между математиками и поощрять использование результатов одного математика в работе другого. Отец Мерсенн добился того, что математики начали регулярно проводить встречи. Позднее его группа стала тем ядром, вокруг которого сформировалась Французская академия. Если все приглашенные на заседание отвечали отказом, то Мерсенн все же старался собрать какую-то группу, сообщая математикам содержание писем и работ, присланных ему конфиденциально. Для человека в сутане такое поведение вряд ли было этичным, но отец Мерсенн оправдывал его тем, что обмен информацией идет на пользу математике и человечеству. Столь неблаговидные поступки, разумеется не могли не вызывать резкой полемики между монахом, руководствовавшимся благими намерениями, и «солистами» ученого мира, не склонными делиться с коллегами своими тайнами. Все это привело к разрыву давних отношений между Мерсенном и Декартом (продолжавшихся со времен совместной учебы в иезуитском Коллеже в Ла Флеше). Мерсенн обнародовал философские работы Декарта, которые могли бы быть истолкованы как оскорбительные для церкви, но к чести отца Мерсенна следует заметить, что он выступил в защиту Декарта, когда тот был подвергнут критике со стороны теологов (ранее Мерсенн поступил так же, когда церковные власти преследовали Галилея). В эпоху тотального господства религии и магии отец Мерсенн отстаивал рациональную мысль.
   Мерсенн много путешествовал по Франции и далеко за ее пределами, повсюду распространяя вести о последних математических открытиях. В своих странствиях он, в частности, захотел встретиться с Пьером де Ферма, и их встреча, по-видимому, стала единственным контактом тулузского отшельника с другим математиком. Мерсенн оказал на «князя любителей» влияние, уступавшее, возможно, только «Арифметике» Диофанта (сборнику математических трактатов, доставшихся XVII веку в наследие от древних греков). Ферма никогда не расставался с «Арифметикой».
   Даже когда от поездок пришлось отказаться, Мерсенн продолжал поддерживать отношения с Ферма и другими математиками, направляя им огромное количество писем. После смерти Мерсенна обнаружилось, что его апартаменты были битком набиты письмами от семидесяти восьми различных корреспондентов.
   Несмотря на настойчивые просьбы отца Мерсенна, Ферма упорно отказывался публиковать свои доказательства. Публикация результатов и признание ничего не значили для него. Ферма получал удовлетворение от сознания того, что он в тиши своего кабинета без помех может создавать новые теоремы. Но скромный и замкнутый гений не был чужд озорству. В сочетании с его отстраненностью это иногда проявлялось при общении Ферма с другими математиками, когда он поддразнивал своих коллег: направляя им письма с формулировками последних теорем, он неизменно умалчивал о доказательствах. Ферма бросал своим современникам вызов, испытывая их способность найти недостающее доказательство.
   То, что Ферма никогда не раскрывал своих доказательств, вызывало у его коллег чувство горького разочарования. Рене Декарт называл Ферма «хвастуном», а англичанин Джон Валлис называл его «проклятым французом». К несчастью для англичан, Ферма доставляло особое удовольствие разыгрывать своих коллег по ту сторону Ла-Манша.
   Помимо удовольствия, которое доставляло Ферма поддразнивание своих коллег, его обыкновение формулировать проблему и скрывать ее решение имело под собой и более практическую мотивацию. Прежде всего оно означало, что Ферма не имел времени подробно излагать полученное им доказательство; он торопился перейти к решению следующей проблемы. Кроме того, такая тактика избавляла Ферма от мелких придирок со стороны ревнивых коллег. Будучи опубликованным, доказательство становится доступным для изучения и критики со стороны всех и каждого, кто хотя бы немного смыслит в предмете. Когда Блез Паскаль стал настаивать на публикации некоторых из работ Ферма, тулузский отшельник возразил: «Какая бы из моих работ ни считалась достойной опубликования, я вовсе не желаю, чтобы мое имя появлялось в печати». Ферма был замкнутым гением, пожертвовавшим славой ради того, чтобы критики не досаждали ему мелочными придирками.
   В переписке Ферма с Паскалем (единственный случай, когда Ферма обсуждал идеи с кем-нибудь, кроме Мерсенна) речь шла о рождении нового раздела математики — теории вероятностей. Паскаль ввел математического отшельника в круг проблем новой дисциплины, и поэтому ему, несмотря на пристрастие к уединению, пришлось поддерживать диалог. Совместными усилиями Ферма и Паскаль получили первые доказательства и обнаружили в теории вероятностей незыблемые истины, хотя неопределенность — суть предмета этой теории. Интерес Паскаля к теории вероятностей пробудил профессиональный игрок из Парижа Антуан Гомбо, шевалье де Мере, который поставил перед Паскалем задачу, имевшую отношение к следующей азартной игре. Игроки по очереди бросают игральную кость и замечают, сколько очков выпадает при броске. Выигрывает (и забирает стоящие на кону деньги) тот из игроков, кто первым наберет определенное количество очков.
   Гомбо играл в эту игру с партнером, но оба вынуждены были прекратить игру под давлением непредвиденных обстоятельств. Возникла проблема: как разделить деньги, стоявшие на кону? Простое решение состояло бы в том, чтобы всю сумму, стоявшую на кону, забрал тот из партнеров, который успел набрать больше очков, но Гомбо спрашивал у Паскаля, не существует ли более справедливого способа разделить деньги. Паскалю было необходимо вычислить вероятность каждого из партнеров на выигрыш в случае продолжения игры в предположении, что каждый партнер набирал бы последующие очки с одинаковой вероятностью. Деньги, стоявшие на кону, следовало бы поделить пропорционально вычисленным вероятностям.
   До XVI века законы вероятности определялись исходя из интуиции и опыта игроков, но Паскаль затеял переписку с Ферма с целью открыть математические правила, которые более точно описывают законы случая. Три столетия спустя Бертран Рассел так прокомментировал этот явный оксиморон: «Как только мы осмеливаемся говорить о законах случая? Разве случай — не антитеза всякому закону?»
   Французы исследовали задачу Гомбо и вскоре поняли, что она сравнительно проста и ее можно строго решить, определив все потенциальные исходы игры и приписав каждому исходу соответствующую вероятность. И Паскаль, и Ферма сумели независимо решить задачу Гомбо, но их сотрудничество ускорило решение и позволило им глубже исследовать другие, более тонкие и трудные, вопросы теории вероятностей.
   Задачи теории вероятностей иногда кажутся парадоксальными, потому что математическое решение (правильный ответ) нередко не согласуется с интуицией. Такие провалы интуиции могут показаться удивительными, поскольку «выживание наиболее приспособленного» должно было оказать сильное эволюционное давление на развитие мозга, способного от природы анализировать проблемы теории вероятностей. Можно представить себе наших предков, подкрадывающихся к олененку и решающих, стоит или не стоит им нападать на него. Велик ли риск, что олень бросится защищать свое чадо и нападет на обидчика? С другой стороны, какова вероятность, что представится более удобный случай добыть свежее мясо на обед, если нападение на олененка считать излишне рискованным? Талант к оценке вероятностей должен быть неотъемлемой частью нашей генетической структуры, и тем не менее наша интуиция нередко заставляет нас делать неверные заключения.
   Например, в сильнейшем противоречии с интуицией находится задача о вероятности совпадения дней рождения. Представьте себе футбольное поле, на котором находятся 23 человека: игроки двух команд (22 человека) и судья. Какова вероятность, что у двух из них дни рождения совпадают?
   Поскольку речь идет о 23 людях, а выбирать приходится из 365 дней, кажется маловероятным, чтобы у кого-нибудь из тех, кто находится на футбольном поле, дни рождения совпали. Если попросить кого-нибудь оценить вероятность совпадения числом, то большинство людей оценят эту вероятность не выше 10 %. В действительности же правильный ответ гласит: чуть выше 50 %. Иначе говоря, если взвешивать на весах теории вероятностей, то вероятность совпадения дней рождения все-таки чуть-чуть больше, чем вероятность того, что никакие два дня рождения не совпадают.
   Причина столь высокой вероятности совпадения двух дней рождения заключается в том, что число способов, которыми людей можно разбить на пары, гораздо больше числа самих людей. Если требуется найти совпадающие дни рождения, то необходимо знать не количество людей, а число пар, на которые их можно разбить. Так как число людей на футбольном поле равно 23, то число пар равно 253. Например, первого из находящихся на футбольном поле можно включать в одну пару с любым из 22 других, что дает для начала 22 пары. Второму можно подобрать в пару любого из 21 остальных людей на поле (поскольку мы уже сосчитали второго один раз, когда подсчитывали число пар с участием первого, число пар со вторым следует уменьшить на единицу), и мы получаем еще 20 пар. Продолжая рассуждать так же, мы в итоге получим 253 пары.
   То, что вероятность совпадения дней рождения в группе из 23 людей оказывается больше 50 %, противоречит интуиции. Тем не менее с точки зрения математики ответ правильный. Именно на такие «странные», противоречащие интуитивным, представления опираются букмекеры и игроки, используя опрометчивость азартных людей. В следующий раз, когда вам случится быть на заседании или званом обеде, на котором окажется 23 участника, можете заключить пари, что среди присутствующих найдутся два человека, дни рождения которых совпадают. Следует иметь в виду, что в группе из 23 человек вероятность совпадения двух дней рождения лишь слегка превышает 50 %, но с увеличением численности группы вероятность совпадения быстро увеличивается.
   Ферма и Паскаль заложили основы тех правил, которым подчиняются все азартные игры и которые могут быть использованы игроками, чтобы выработать идеальную стратегию игры и стратегию заключения пари. Кроме того, обнаруженные Ферма и Паскалем законы теории вероятностей нашли приложения в целом ряде областей человеческой деятельности — от спекулятивной игры на фондовой бирже до оценивания вероятности ядерной катастрофы.
   Паскаль был даже убежден, что мог бы применить свои теории для обоснования веры в Бога. Он утверждал, что «азарт, который испытывает игрок при заключении пари равен произведению той суммы, которую он может выиграть, и вероятности выигрыша». Далее Паскаль утверждал, что возможный выигрыш вечного блаженства обладает бесконечно большой ценностью, а вероятность попасть в царство небесное, если вести добродетельную жизнь, заведомо конечна. Следовательно, по определению Паскаля, религия — игра бесконечно азартная и стоящая того, чтобы в нее играли, так как произведение бесконечно большого потенциального выигрыша на конечную вероятность бесконечно велико.
   Разделяя с Паскалем честь быть отцом-основателем теории вероятностей, Ферма по праву может также считаться одним из основателей еще одной области математики — дифференциального исчисления. Дифференциальное исчисление позволяет вычислять скорость изменения, или производную, одной величины относительно другой (например, скорость изменения расстояния относительно времени, известную просто как скорость). Для математиков величины, как правило, абстрактны и неосязаемы, но труды Ферма имели своим следствием подлинный переворот в физике. Математика Ферма позволила физикам лучше понять, что такое скорость, и какова ее связь с другими фундаментальными величинами, такими, как ускорение — скорость изменения скорости относительно времени.
   Дифференциальное исчисление оказывает сильное влияние на экономику. Инфляция — это скорость изменения цены, известная как производная цены. Кроме того, экономистов часто интересует скорость изменения инфляции, известная как вторая производная цены. Эти термины часто используются политиками, и математик Хуго Росси однажды заметил: «Осенью 1972 года президент Никсон заявил, что скорость роста инфляции пошла на убыль. Это был первый случай, когда правящий президент использовал третью производную, чтобы увеличить свой шанс на переизбрание».
   На протяжении более двух столетий принято было считать, что Исаак Ньютон открыл дифференциальное исчисление независимо от Ферма, не зная о его работах. Но в 1934 году Луис Треншар Мур обнаружил заметку, которая позволила внести в вопрос о приоритете полную ясность и воздать Ферма по заслугам. Ньютон писал, что, разрабатывая дифференциальное исчисление, он опирался на «метод построения касательных месье Ферма». С XVIII века дифференциальное исчисление использовалось для описания закона всемирного тяготения Ньютона и его законов механики, зависящих от расстояния, скорости и ускорения.
   Одного лишь участия в создании дифференциального исчисления и теории вероятностей было бы более чем достаточно, чтобы обеспечить Ферма место в зале славы математики, но его величайшее достижение лежит в другой области математики.
   Дифференциальное исчисление используется при посылке космических кораблей на Луну, теория вероятностей — при оценке рисков страховых компаний, но Ферма питал глубочайшую любовь к разделу, который не обещал никаких приложений — теории чисел. Ферма был обуян страстью — ему хотелось во что бы то ни стало понять свойства чисел и отношения между ними. Теория чисел — наиболее чистая древнейшая область математики, и Ферма продолжал развивать этот раздел математики, доставшийся ему в наследство от Пифагора.

Эволюция теории чисел

   После смерти Пифагора представление о математическом доказательстве быстро распространилось по всему цивилизованному миру. Два столетия спустя после того, как его Академия сгорела до основания, центр математических исследований переместился из Кротона в город Александрию. В 332 году до н. э., покорив Грецию, Малую Азию и Египет, Александр Македонский решил построить столицу, которая должна была стать самым величественным городом мира. Александрия действительно стала прекраснейшим городом и к тому же, хотя и не сразу, научным центром. Только после смерти Александра Македонского, когда на египетский трон взошел его единоутробный брат Птолемей I, Александрия стала тем местом, где возникло первое в мире высшее учебное заведение — Академия. Математики и другие интеллектуалы, привлеченные репутацией Академии, и, еще в большей степени, Александрийской библиотеки, стали перебираться в культурную столицу Птолемея I.
   Замысел создания Библиотеки принадлежал Деметрию Фаларею, непопулярному оратору, который был вынужден бежать из Афин.
   После долгих странствий он нашел прибежище в Александрии. Фаларею удалось внушить Птолемею I мысль о том, что следует собрать все великие сочинения, а вслед за книгами в Александрию потянутся и великие умы. Когда в хранилищах Александрийской библиотеки оказались собраны сочинения из Египта и Греции, специальные агенты разъехались в поисках сокровищ знания по Европе и Малой Азии. Ненасытный аппетит собирателей Библиотеки ощущали на себе все, кто посещал в ту пору Александрию: при въезде в город у приезжих отбирали всю литературу и передавали писцам. Со всех сочинений те снимали копии, после чего подлинники отправлялись в Библиотеку, а копии с благодарностью возвращались прежним владельцам книг. Тщательное копирование всех сочинений, оказавшихся в багаже прибывающих в Александрию путешественников, вселяет в современных историков надежду, что где-нибудь в мире на чердаке будет обнаружена копия какого-нибудь великого сочинения, считавшегося утерянным. Так, в 1906 году историк науки Гейберг обнаружил в Константинополе такую рукопись — «Метод», в которой содержалось несколько сочинений Архимеда.
   Мечта Птолемея I о постройке сокровищницы знания пережила его самого, и к тому времени, когда на троне сменилось несколько представителей династии Птолемеев, Александрийская библиотека уже насчитывала более 600 000 сочинений. Изучая математику в Александрии, математики могли научиться всему, что было известно в мире, а учили их в Академии самые знаменитые ученые Древнего Мира. Первым главой математического факультета был не кто иной, как сам Евклид.
   Евклид родился около 330 года до н. э. Подобно Пифагору, Евклид искал математическую истину ради самой математической истины и не занимался поиском приложений своих работ. Легенда рассказывает, что один ученик спросил Евклида, какая польза от математики, которую он изучает. Закончив урок, Евклид обратился к рабу и, указав на ученика, сказал: «Дай ему обол, ибо он желает иметь пользу от того, что изучает». Вскоре этот ученик был изгнан.
   Значительную часть своей жизни Евклид провел за написанием «Начал» — учебника геометрии, имевшего наибольший успех за всю историю человечества. Вплоть до XX века «Начала» были вторым бестселлером после Библии. «Начала» состоят из тринадцати книг, часть которых посвящена изложению результатов исследований самого Евклида, а остальные представляют собой компиляцию всех математических знаний его века. Например, результаты исследований членов пифагорейского братства занимают две книги. За столетия, прошедшие после кончины Пифагора, математики изобрели множество разнообразных логических приемов, применимых в различных обстоятельствах, и Евклид искусно использовал в «Началах» все эти методы. В частности, Евклид применил логическое оружие, известное как reductio ad absurdum, или доказательство от противного. Этот метод вращается вокруг довольно хитроумной идеи: чтобы доказать истинность теоремы, прежде всего необходимо предположить, что эта теорема неверна. Далее математик изучает логические следствия того, что теорема неверна. В каком-то пункте в логической цепочке обнаруживается противоречие (например, выясняется, что 2+2=5). Математика питает непреодолимое отвращение к противоречиям. Отсюда делается заключение, что исходная теорема не может быть неверна, т. е. она истинна.
   Английский математик Г.Г. Харди кратко выразил дух доказательства от противного в своей книге «Апология математика»: «Reductio ad absurdum, столь любимое Евклидом, — одно из самых прекрасных орудий математика. Это гораздо более тонкий гамбит, чем любая шахматная партия: шахматист может пожертвовать пешкой или даже какой-нибудь фигурой, но математик жертвует партией».
   Одно из наиболее известных доказательств Евклида от противного — доказательство существования так называемых иррациональных чисел. По-видимому, иррациональные числа первоначально были открыты пифагорейцами несколькими столетиями раньше, но понятие иррационального числа вызывало у Пифагора столь сильное отвращение, что он отрицал существование иррациональных чисел.
   Когда Пифагор провозгласил, что Вселенной управляют числа, он имел в виду только целые числа и их отношения, называемые рациональными числами. Иррациональное же число не является ни целым, ни дробью, и именно это обстоятельство казалось Пифагору отвратительным. Действительно, иррациональные числа настолько необычны, что их невозможно записать в виде конечных десятичных дробей или бесконечных периодических дробей. Например, такая бесконечная периодическая непрерывная дробь, как 0,111111…, — число весьма и весьма обыкновенное: оно равно дроби 1/9. То, что единица повторяется неограниченно много раз, означает лишь, что данное десятичное число обладает очень простой и регулярной структурой. В свою очередь такая строгая регулярность, несмотря на неоднократное (в действительности — бесконечнократное) повторение, означает, что данную бесконечную десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби. Но если вы захотите представить иррациональное число в виде десятичной дроби, то у вас получится бесконечная дробь, структура которой не будет регулярной и сколько-нибудь обозримой.
   Для Пифагора идея красоты математики состояла в том, что рациональные числа (целые числа и обыкновенные дроби) позволяют объяснить все явления в природе. Эта путеводная философия ослепила Пифагора, не давая ему увидеть существование иррационального числа и, возможно, даже привела к казни одного из его учеников. Легенда рассказывает о том, что один из учеников Пифагора по имени Гиппас на досуге забавлялся с числом √2, пытаясь найти эквивалентную ему обыкновенную дробь. В конце концов он понял, что такой дроби не существует, т. е. √2 — иррациональное число. Совершив столь важное открытие, Гиппас, должно быть, пришел в неописуемый восторг, чего нельзя было сказать о его учителе. Пифагор определял все происходящее в мире с помощью рациональных чисел, и существование иррациональных чисел ставило под сомнение его идеал. Открытие Гиппаса могло бы повлечь за собой период споров и сомнений, и Пифагору пришлось бы признать новый источник чисел. Но Пифагор не хотел признать свои заблуждения и в то же время не мог разрушить аргументацию Гиппаса силой логики. К своему вечному позору, он приговорил Гиппаса к смерти через утопление.
   Отец логики и математического метода прибег к силе, но так и не признал, что был неправ. Это было его самым позорным деянием и, возможно, величайшей трагедией греческой математики. Иррациональные числа обрели «права гражданства» в математике только после смерти Пифагора.
   Введение иррациональных чисел означало гигантский прорыв в математике. Математики получили возможность бросить взгляд за пределы целых чисел и обыкновенных дробей, оглядеться и открывать или, быть может, изобретать новые числа. По словам математика XIX века Леопольда Кронекера: «Бог создал целые числа; все остальное дело рук человеческих».
   Самым замечательным иррациональным числом по праву считается число π. В школе его иногда заменяют приближенным значением 31/7 или 3,14. Истинное значение π ближе к 3,14159265358979323846, но и эта длинная десятичная дробь — не более чем приближение к истинному значению числа π. В действительности же число π невозможно точно представить в виде десятичной дроби, так как десятичная дробь получается бесконечной и в распределении цифр нет никакой закономерности. Одна из замечательных особенностей случайного распределения цифр в десятичной записи числа π заключается в том, что вычислить ее можно с помощью весьма регулярного соотношения:
   Вычислив первые несколько членов, вы можете получить весьма грубое приближение к π, однако последующие вычисления дают довольно хорошее приближение.
   Вообще говоря, для вычисления длины окружности Вселенной с точностью до радиуса атома водорода достаточно знание 39 знаков числа π. Тем не менее, это не мешает специалистам вычислять число π на компьютере с очень большим количеством знаков. Текущий рекорд принадлежит Ясумасе Канаде из Токийского университета, который в 1996 году вычислил 6 миллиардов знаков десятичного разложения числа π. Недавно прошел слух о том, что русские по происхождению братья Чудновские из Нью-Йорка вычислили 8 миллиардов знаков десятичного разложения числа π и намереваются вычислить триллион десятичных знаков. Если Канада или братья Чудновские вознамерились бы продолжать свои вычисления до тех пор, пока их компьютеры не исчерпают всю энергию во Вселенной, то и тогда им не удалось бы найти точное значение числа π. Нетрудно понять, почему Пифагор настаивал на том, чтобы сведения о существовании столь необычных математических «зверей» оставались достоянием лишь узкого круга посвященных.

   Значение числа π с более чем 1500 знаками
   3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582
   0974944592307816406286208998628034825342117067982148086
   5132823066470938446095505822317253594081284811174502841
   0270193852110555964462294895493038196442881097566593344
   6128475648233786783165271201909145648566923460348610454
   3266482133936072602491412737245870066063155881748815209
   2096282925409171536436789259036001133053054882046652138
   4146951941511609433057270365759591953092186117381932611
   7931051185480744623799627495673518857527248912279381830
   1194912983367336244065664308602139494639522473719070217
   9860943702770539217176293176752384674818467669405132000
   5681271452635608277857713427577896091736371787214684409
   0122495343014654958537105079227968925892354201995611212
   9021960864034418159813629774771309960518707211349999998
   3729780499510597317328160963185950244594553469083026425
   2230825334468503526193118817101000313783875288658753320
   8381420617177669147303598253490428755468731159562863882
   3537875937519577818577805321712268066130019278766111959
   0921642019893809525720106548586327886593615338182796823
   0301952035301852968995773622599413891249721775283479131
   5155748572424541506959508295331168617278558890750983817
   5463746493931925506040092770167113900984882401285836160
   3563707660104710181942955596198946767837449448255379774
   7268471040475346462080466842590694912933136770289891521
   0475216205696602405803815019351125338243003558764024749
   6473263914199272604269922796782354781636009341721641219
   9245863150302861829745557067498385054945885869269956909
   2721079750930295532116534498720275596023648066549119881
   8347977535663698074265425278625518184175746728909777727
   938000816470200161452491921732172147723501414419735

   Когда Евклид отважился рассмотреть проблему иррациональности в десятом томе «Начал», его цель состояла в том, чтобы доказать существование числа, не представимого в виде обыкновенной дроби. Вместо того, чтобы доказывать иррациональность числа π, Евклид рассмотрел квадратный корень из двух, √2, — число, которое при умножении на себя дает число 2. Чтобы доказать, что число √2 не представимо в виде обыкновенной дроби, Евклид воспользовался доказательством от противного и предположил, что число √2 представимо в виде обыкновенной дроби. Затем он показал, что эту гипотетическую дробь всегда можно упростить. Упрощение дроби означает, что числитель и знаменатель можно поделить на одно и то же целое число. Например, дробь 8/12 можно упростить, сократив числитель и знаменатель на 2 и превратив ее в дробь 4/6. В свою очередь, дробь 4/6 можно упростить до 2/3, а вот дробь 2/3 уже дальнейшему упрощению не поддается, почему и называется несократимой дробью. Евклид показал, что гипотетическая дробь, по предположению представляющая число √2, может быть упрощаема снова и снова бесконечное число раз, но так и не приводится к несократимому виду. Но это нелепо, так как все дроби приводимы к несократимому виду. Следовательно, гипотетическая дробь не может существовать. Это означает, что число √2 не представимо в виде дроби и, следовательно, иррационально. Ход доказательства Евклида приведен в Приложении 2.
   Используя доказательство от противного, Евклид сумел доказать существование иррациональных чисел. До Евклида все числа, с которыми люди имели дело, были представимы как целые числа или обыкновенные дроби, но евклидовы иррациональные числа игнорировали традиционное представление чисел. Не существует иного способа описать число, равное квадратному корню из 2, как записав его в виде √2, поскольку его нельзя представить в виде обыкновенной дроби, а любая попытка записать √2 в виде десятичной дроби не позволяет получить ничего, кроме приближения, например, 1,414213562373…
   Хотя Евклид, несомненно, питал интерес к теории чисел, его величайший вклад в математику был сделан в другой области. Истинной страстью Евклида была геометрия, и из тринадцати книг, составляющих «Начала», книги I–VI посвящены планиметрии (двумерной геометрии), а книги XI–XIII — стереометрии. Этот свод геометрических знаний был настолько полным, что содержание «Начал» составляло основу программ по геометрии в школах и университетах на протяжении следующих двух тысяч лет.
   Математиком, составившим подобный свод знаний по теории чисел, стал Диофант Александрийский, последний защитник греческой традиции. Хотя достижения Диофанта в теории чисел достаточно задокументированы в его книгах, по существу ничего больше об этом замечательном математике не известно. Не известно, где он родился. В Александрию Диофант мог прибыть в любое время на протяжении «окна», протяженностью в пять веков! В своих сочинениях Диофант цитирует Гипсикла, из чего можно сделать вывод, что Диофант жил после 150 года до н. э.; с другой стороны, труды самого Диофанта цитирует Теон Александрийский, из чего следует, что Диофант жил до 364 года н. э. Разумной обычно считается дата — около 250 года н. э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта. По преданию, оно было высечено на его надгробии в виде задачи-головоломки, словно специально предназначенной любителям математики:
   «Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь».
   Требовалось вычислить продолжительность жизни Диофанта. Решение этой задачи приведено в Приложении 3.
   Эта головоломка может служить примером задач того рода, которые любил Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Ныне такие задачи известны под названием диофантовых. Деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал известные и придумывал новые задачи, а позднее объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть пережили хаос Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения, в том числе и для Пьера де Ферма. Остальные семь книг погибли в результате цепочки трагических событий, которые отбросили математику к временам древних вавилонян.
   На протяжении столетий, разделяющих Евклида и Диофанта, Александрия продолжала оставаться интеллектуальной столицей цивилизованного мира, но весь этот период великий город находился под угрозой нападения иностранных армий. Первое крупное нападение произошло в 47 году до н. э., когда Юлий Цезарь предпринял попытку сбросить Клеопатру с трона, предав сожжению александрийский флот. Библиотека, расположенная неподалеку от гавани, сильно пострадала от пожара. Сотни тысяч книг погибли. К счастью для науки, Клеопатра по достоинству ценила значение Библиотеки и решительно вознамерилась восстановить ее в прежней славе. Марк Антоний понял, что путь к сердцу просвещенной царицы лежит через Библиотеку, и пошел маршем на Пергам. В этом городе уже была заложена своя библиотека. Правители города надеялись, что со временем она станет самым богатым книгохранилищем в мире, но Марк Антоний помешал сбыться этим надеждам, отправив все собрание книг в Египет и восстановив тем самым главенство Александрии.
   На протяжении четырех следующих веков Библиотека продолжала пополнять свою коллекцию — до 389 года н. э., когда ей был нанесен первый из двух роковых ударов. Причиной обоих ударов стал религиозный фанатизм. Византийский император Феодосий приказал епископу Александрийскому Теофилу разрушить все языческие монументы. К сожалению, восстанавливая и восполняя Библиотеку, Клеопатра решила отвести под нее храм Сераписа. По приказу императора, это здание было разрушено, а «языческие» ученые, пытавшиеся спасти рукописи, накопленные за шесть веков, растерзаны толпой фанатиков. Началась мрачная эра Средних веков.
   Несколько драгоценных экземпляров наиболее важных книг пережили бойню, учиненную христианами, и ученые продолжали наведываться в Александрию в поисках знания. Но в 642 году последовало нападение мусульман. На этот раз поражение потерпели христиане. На вопрос, что делать с Библиотекой, одержавший победу халиф Омар заявил, что книги, противоречащие Корану, должны быть уничтожены как вредоносные, а книги, согласующиеся с Кораном, также должны быть уничтожены как излишние. Рукописи были брошены в печи, которыми отапливались публичные бани, и греческая математика обратилась в дым. Не удивительно, что большая часть «Арифметики» Диофанта оказалась уничтоженной. Следует считать чудом, что шесть книг «Арифметики» смогли уцелеть, пережив трагедию Александрии.
   Следующую тысячу лет математика на Западе пребывала в упадке, и только несколько выдающихся ученых Индии и Аравии не дали ей окончательно угаснуть. Они скопировали формулы из сохранившихся греческих математических рукописей и принялись заново придумывать для этих формул утраченные теоремы. Кроме того, они пополнили математику новыми элементами и среди прочего изобрели число нуль.
   В современной математике нуль выполняет две функции. Во-первых, нуль позволяет нам различать такие числа, как 52 и 502. В системе счисления, в которой положение цифры определяет ее значение, символ 0 необходим для обозначения пустой позиции. Например, 52 означает 5 раз по десять плюс 2 раза по единице, в то время как 502 означает 5 раз по сто, 0 раз по десять и 2 раза по единице. Нуль играет решающую роль при устранении неоднозначности. Даже вавилоняне, жившие за три тысячи лет до н. э., оценили использование нуля во избежание путаницы, и греки восприняли идеи вавилонян, используя кружок, похожий на тот символ нуля, который мы используем сегодня. Однако нуль выполняет еще одну, более деликатную и значительную, функцию, которую полностью оценили лишь через несколько столетий индийские математики. Они осознали, что нуль не только позволяет заполнить пробел между значащими цифрами, но и существует сам по себе, независимо от других чисел. Так абстрактное понятие «ничего» впервые обрело свой осязаемый символ.
   Современному читателю изобретение нуля может показаться тривиальным шагом, но не следует забывать о том, что именно вторая, более глубокая функция нуля ускользнула от внимания всех древнегреческих философов, в том числе Аристотеля. По мнению Аристотеля нуль должен был быть объявлен вне закона, поскольку он нарушал единообразие других чисел: деление обыкновенного числа на нуль приводило к непостижимому результату. К VI веку индийские математики уже не заметали проблему нуля под ковер, а индийский ученый VII века Брахмагупта оказался уже настолько искушенным, что использовал деление на нуль для определения бесконечности.
   В то время как Европа оставила благородный поиск истины, Индия и Аравия укрепляли знание, тайно похищенное на пепелище Александрии, и излагали его на новом, более выразительном языке. Индийские и арабские математики не только пополнили математический словарь нулем, но и заменили примитивные греческие символы и неуклюжие римские числительные общепринятой и ныне системой счисления. Последнее достижение, как и введение нуля, может показаться ничтожно малым продвижением, но попробуйте умножить CLV на DCI, и вы оцените значение этого прорыва: эквивалентная задача умножения 155 на 601 гораздо проще. Развитие любой научной дисциплины зависит от ее способности развивать свои идеи и обмениваться ими, а это в свою очередь определяется научным языком, который должен быть достаточно подробным и гибким. Идеи Пифагора и Евклида отличались большим изяществом, несмотря на грубое и неуклюжее оформление, но после перевода в арабскую символику они расцвели и принесли много плодов, породив новые и богатые понятия.
   В X веке французский ученый Герберт Аврилакский перенял новую систему счисления у испанских мавров и, занимаясь преподаванием в церквах и школах по всей Европе, внедрил новую систему на Западе. В 999 году он был избран папой Сильвестром II, и это позволило ему способствовать еще большему распространению новых индо-арабских цифр. И хотя необычная эффективность новой системы счисления произвела подлинный переворот в выполнении всех счетных операций и была быстро воспринята купцами, она слабо способствовала оживлению европейской математики.
   Жизненно важным, поворотным пунктом в развитии западной математики стал 1453 год, когда турки разграбили Константинополь. За прежние годы рукописи, спасенные после уничтожения Александрии, нашли убежище в Константинополе, и теперь снова оказались под угрозой уничтожения. Византийские ученые бежали на запад, прихватив с собой те тексты, которые могли унести. Пережив нападения Цезаря, епископа Теофила, халифа Омара, а теперь еще и турок, несколько драгоценных книг «Арифметики» Диофанта проделали обратный путь в Европу. Судьба распорядилась так, чтобы сочинение Диофанта оказалось на письменном столе Пьера де Ферма.

Рождение проблемы

   Судебные обязанности Ферма поглощали значительную часть его времени, а те скудные часы досуга, которые все же оставались, Ферма целиком посвящал математике. Отчасти это объяснялось тем, что во Франции XVII века не поощрялись светские связи судей.
   Считалось, что друзья и светские знакомые судей сами могут оказаться под судом, и тогда личные связи могут помешать осуществлению правосудия. Изолированный от остальной части высшего общества Тулузы, Ферма мог сосредоточиться на своем любимом занятии.

   Фронтиспис перевода «Арифметики» Диофанта выполненного Клодом Гаспаром Баше и опубликованного в 1621 году. Эта книга во многом вдохновила Ферма на его исследования

   Не сохранилось никаких документальных свидетельств того, что у Ферма был учитель математики, который поощрял своего способного ученика. Наставником и учителем Ферма стала «Арифметика» Диофанта. В «Арифметике» теория чисел, как было принято во времена Диофанта, излагалась в виде ряда задач и их решений. В действительности Диофант развернул перед Ферма картину целого тысячелетия, заслуживающего осмысления со стороны математика. В одной «Арифметике» Ферма мог найти все, что было известно о числах благодаря трудам последователей Пифагора и Евклида. Теория чисел замерла после варварского сожжения Александрии, но Ферма преисполнился решимости возродить изучение самой фундаментальной из всех математических дисциплин.
   Книга, вдохновившая Ферма, была латинским переводом «Арифметики», выполненным Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком, считавшимся самым ученым человеком во всей Франции. Блестящий лингвист, поэт и знаток классических языков и литературы, Баше питал любовь к математическим задачам-головоломкам. Его первой публикацией был сборник занимательных задач под названием «Problemes plaisans et delectables qui se font par les nombres» [2]. В сборнике были задачи о переправах через реку, переливании жидкостей и несколько фокусов с отгадыванием задуманного числа. Одна из задач ставила вопрос о подборе гирь: «Каков наименьший набор гирь, который позволит взвесить любой груз весом от 1 до 40 кг?»
   Баше нашел остроумное решение задачи, показывающее, что удовлетворить ее требованиям можно, располагая набором всего лишь из четырех гирь. Решение Баше приводится в Приложении 4.
   Хотя Баше был в математике всего лишь дилетантом, его интерес к задачам-головоломкам был настолько велик, что позволил ему осознать: задачи, приведенные в «Арифметике» Диофанта, — не просто головоломки и требуют более глубокого изучения. Баше поставил перед собой задачу перевести труд Диофанта и опубликовать его с тем, чтобы вдохнуть в методы греческих математиков новую жизнь. Следует иметь в виду, что подавляющее большинство достижений древних математиков было полностью забыто. Высшую математику не изучали даже в самых крупных европейских университетах, и только благодаря таким ученым, как Баше, она стала быстро возрождаться. Публикация в 1621 году выполненного Баше латинского перевода «Арифметики» Диофанта была его вкладом в начало второго золотого века в истории математики.
   В «Арифметике» собраны сотни задач, и каждую из них Диофант снабдил подробным решением. Ферма не перенял столь высокий уровень доступности. Его совсем не интересовало создание учебника для будущих поколений. Он жаждал лишь одного — получить удовлетворение от решенной им задачи. Изучая задачи и решения Диофанта, Ферма черпал в них вдохновение и стал помышлять о том, чтобы самому заняться решением аналогичных и более тонких задач. Ферма записывал для себя лишь самое необходимое для того, чтобы убедиться в правильности полученного решения, и не заботился о том, чтобы изложить остальную часть доказательства. Чаще всего сделанные им торопливые записи отправлялись прямиком в мусорную корзину, после чего Ферма спокойно переходил к следующей задаче. К счастью для нас, опубликованный Баше латинский перевод «Арифметики» имел широкие поля, и иногда Ферма торопливо записывал на них ход своих рассуждений и свои комментарии. Эти заметки на полях стали бесценными, хотя и несколько отрывочными, документальными свидетельствами некоторых наиболее блестящих выкладок Ферма.
   Одно из открытий Ферма касается так называемых дружественных чисел, тесно связанных с совершенными числами, так восхитившими Пифагора двумя тысячами лет раньше. Дружественными числами называются два числа, каждое из которых равно сумме делителей другого числа. Пифагорейцы совершили необычайное открытие, установив, что 220 и 284 — дружественные числа. Делителями числа 220 служат числа 1, 2, 4,5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, а их сумма равна 284. С другой стороны, делителями числа 284 служат числа 1, 2, 4, 71, 142; их сумма равна 220.
   Пару чисел 220 и 284 стали считать символом дружбы. Мартин Гарднер в книге «Математические новеллы» [3] рассказывает о том, что в Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви. Некий арабский нумеролог сообщает об обычае вырезать числа 220 и 284 на плодах, один из которых влюбленный съедал сам, а другой давал съесть предмету своей страсти, как своего рода математическое средство усиления любовного влечения. Первые теологи отмечали, что в Книге Бытия Иаков отдает в подарок брату своему Исаву 220 животных — «двести коз, двадцать козлов». По мнению теологов, число животных, равное одному из чисел, образующих дружественную пару, свидетельствует о любви Иакова к Исаву.
   Помимо 220 и 284 других дружественных чисел не было известно вплоть до 1636 года, когда Ферма обнаружил пару 17 296 и 18 416. И хотя это открытие нельзя назвать важным, оно свидетельствует о том, что Ферма хорошо знал натуральные числа и любил «играть» с ними. Ферма стал своего рода законодателем моды на нахождение дружественных чисел. Декарт открыл третью пару (9 363 584 и 9 437 056), а Леонард Эйлер продолжил список дружественных чисел до 62-й пары. Интересно отметить, что Декарт и Эйлер «проглядели» гораздо меньшую пару дружественных чисел. В 1866 году шестнадцатилетний итальянец, тезка великого скрипача, Никколо Паганини открыл пару 1184 и 1210.
   В XX веке математики обобщили понятие дружественных чисел и занялись поиском так называемых «общительных» чисел — замкнутых циклов из трех и более чисел. Например, в тройке чисел
   (1 945 330 728 960; 2 324 196 638 720; 2 615 631 953 920)
   делители первого числа в сумме дают второе число, делители второго в сумме дают третье число, а делители третьего числа в сумме дают первое число. Самый длинный из известных циклов состоит из 28 общительных чисел, первое из которых равно 14 316.
   Хотя открытие новой пары дружественных чисел сделало Ферма своего рода знаменитостью, его репутация выросла еще больше благодаря серии решенных им трудных задач.
   Например, Ферма заметил, что число 26 «стиснуто» между числами 25 и 27, одно из которых представляет собой квадрат (25 = 52 = 5·5), а другое — куб (27 = 33 == 3·3·3). Ферма занялся поиском других чисел, зажатых между квадратом и кубом, но найти ничего так и не удалось. Родилось подозрение, что число 26 единственное. После многодневных напряженных поисков Ферма удалось выстроить сложное доказательство, не оставлявшее сомнений в том, что 26 — действительно единственное число, заключенное между квадратом и кубом. Предложенная им цепочка логических доводов убедительно свидетельствовала, что ни одно другое число не обладает этим свойством.
   Ферма сообщил об уникальном свойстве числа 26 математическому сообществу и бросил вызов, предложив доказать это. Ферма открыто признал, что располагает доказательством установленного им свойства. Вопрос был в том, хватит ли у других математиков сообразительности, чтобы справиться с предложенной задачей? Несмотря на простоту формулировки, решение задачи (доказательство утверждения) оказалось чрезвычайно трудным — можно сказать, недружественным по отношению к тем, кто пытался найти его, и Ферма доставляло особое удовольствие подтрунивать над английскими математиками Валлисом и Дигби, которые в конце концов были вынуждены признать свое поражение.
   События развивались так, что величайшей «заявкой» Ферма на непреходящую славу оказался еще один вызов, брошенный им всему остальному миру. Но это была случайная задача-головоломка, не предназначавшаяся для публичного обсуждения.

Заметка на полях

   При чтении II-й книги «Арифметики» Ферма наткнулся на целую серию наблюдений, задач и решений, связанных с теоремой Пифагора и пифагоровыми тройками. Например, Диофант рассматривал существование особых троек, образующих так называемые «хромые треугольники», у которых две более короткие стороны x и y отличаются по длине только на единицу (например, x = 20, y = 21, z = 29 и 202 + 212 = 292).
   Ферма был поражен разнообразием и обилием пифагорейских треугольников. Он знал, что за много веков до него Евклид доказал (общий ход предложенного Евклидом доказательства см. в Приложении 5), что число пифагоровых троек бесконечно велико. Возможно, Ферма просматривал в очередной раз подробное изложение теории пифагоровых троек у Диофанта и прикидывал, нельзя ли сказать что-нибудь новое по этому поводу. Записывая то так, то эдак уравнение Пифагора, Ферма все старался заметить нечто такое, что ускользнуло от древних греков. Внезапно ему пришла в голову гениальная мысль, обессмертившая имя «князя любителей»: Ферма придумал уравнение, очень похожее на уравнение Пифагора, но не имевшее ни одного решения в целых числах! Именно об этом уравнении и узнал десятилетний Эндрю Уайлс, заглянув в книгу Белла, взятую в публичной библиотеке на Милтон-роуд.
   Вместо уравнения Пифагора x2 + y2 = z2 Ферма занялся рассмотрением его варианта x3 + y3 = z3. Ферма всего лишь изменил степень на единицу, но его новое уравнение, насколько можно было судить, вообще не допускало никаких решений в целых числах. «Методом проб и ошибок» нетрудно было обнаружить, что найти два куба, которые бы в сумме давали еще один куб, не так-то просто. Неужели произведенное Ферма незначительное изменение действительно превращает уравнение, допускающее бесконечно много решений в целых числах, в уравнение, не имеющее ни одного решения в целых числах?
   Ферма подверг уравнение Пифагора еще большему изменению, попробовав заменить степень 2 на целые числа бóльшие 3, и обнаружил, что найти решение в целых числах каждого из этих уравнений столь же трудно. И Ферма решил, что вообще не существует трех целых чисел x, y, z, которые удовлетворяли бы уравнению
xn + yn = zn, где n = 3,4,5…
   На полях «Арифметики» Диофанта, рядом с задачей 8, Ферма оставил такое замечание: «Cubet autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere» [4].

   Фронтиспис издания «Арифметики» Диофанта опубликованного Клеманом-Самюэлем Ферма в 1670 году. В этом варианте были напечатаны и заметки на полях, оставленные отцом издателя — Пьером де Ферма

   Рис. 6. Страница издания «Арифметики» Диофанта (1670 г.), содержащая знаменитое замечание Пьера де Ферма

   Не было причин, по которым среди всех целых чисел не должно было бы существовать по крайней мере одной тройки целых чисел, удовлетворяющих уравнениям Ферма, тем не менее Ферма утверждал, что во всем бесконечном мире чисел нет ни одной «тройки Ферма». Утверждение было весьма необычным, но Ферма полагал, что располагает его доказательством. После первой заметки на полях, наметившей общие контуры теории, гений, любящий позабавиться над коллегами-математиками, начертал еще один комментарий, над которым впоследствии ломало голову не одно поколение математиков:
   «Cuius rei demonstrationem mirabilem sane setex hanc marginis exiguitas non caparet» [5]. В этом — весь Ферма, все то, что особенно раздражало современных ему математиков. Из его собственных слов можно заключить, что он весьма доволен своим «поистине удивительным» доказательством, но ему и в голову не приходит дать себе труд написать подробности доказательства и уж тем более опубликовать его. Он так никому и не рассказал о своем доказательстве, но, несмотря на характерную для Ферма комбинацию лени и скромности, Великая теорема Ферма, как ее стали называть позднее, обрела неслыханную славу в грядущих веках.

Великая проблема, наконец, опубликована

   Свое знаменитое открытие Ферма совершил в самом начале своей математической карьеры — около 1637 года. Примерно через тридцать лет, исполняя свои судебные обязанности в городе Кастре, Ферма тяжело заболел. 9 января 1665 года он подписал свой последний приговор и тремя днями позднее умер. Открытиям Ферма, все еще находившегося в изоляции от парижской математической школы и отнюдь не добрым словом поминаемого его разочарованными коллегами, грозило полное забвение. К счастью, старший сын Ферма, Клеман-Самюэль, сознававший все значение любимого увлечения отца, пришел к заключению, что его открытия не должны быть потеряны для всего мира. Всем, что мы знаем о замечательных открытиях Ферма в теории чисел, мы обязаны его сыну, и если бы не Клеман-Самюэль, загадка, известная под названием Великой теоремы Ферма, умерла бы вместе во своим создателем.
   Пять лет Клеман-Самюэль собирал отцовские заметки и письма, изучал неразборчивые надписи на полях «Арифметики». Заметка на полях с формулировкой Великой теоремы Ферма была лишь одной из вдохновенных мыслей, начертанных на полях этой книги. Клеман-Самюэль взял на себя тяжкий труд опубликовать все эти заметки в специальном издании «Арифметики». В 1670 году он издал в Тулузе книгу под названием «Диофантова Арифметика, содержащая примечания П. де Ферма». В нее наряду с оригинальным текстом на древнегреческом языке и латинском переводом Баше вошли 48 примечаний, сделанных Ферма. Примечание, воспроизведенное на рис. 6, и было тем, которое стало впоследствии известно под названием Великой теоремы Ферма.
   Когда «Примечания» Ферма стали известны более широкому научному сообществу, все поняли, что письма, которые он отправлял своим коллегам, были лакомыми кусочками из сказочного сокровища открытий. Примечания, сделанные рукой Ферма, содержат целую серию теорем. К сожалению, они были либо полностью лишены объяснений, либо сопровождались небольшим наброском доказательства. Часто в этих обрывках доказательств было достаточно изящных логических ходов, чтобы у математиков не оставалось сомнения в том, что Ферма располагал доказательствами. Что же касалось восполнения деталей, то оно всегда было вызовом, который математикам приходилось принимать.
   Леонард Эйлер, один из величайших математиков XVIII века, предпринял попытку доказать одно из самых изящных примечаний Ферма — теорему о простых числах. Простым называется число, которое не имеет делителей — чисел, которые делили бы его без остатка, — кроме единицы и самого числа. Например, 13 — простое число, а 14 — не простое. Ни одно число не делит 13 без остатка, а 2 и 7 делят 14. Все простые числа подразделяются на числа, представимые в виде 4n+1, и числа, представимые в виде 4n–1, где n — некоторое целое число. Так, число 13 принадлежит к первой группе (13 = 4·3 + 1), а число 19 — ко второй группе (19 = 4·5–1). Теорема Ферма о простых числах утверждает, что простые числа первой группы всегда представимы в виде суммы двух квадратов (13 = 22 + 32), в то время как простые числа второй группы никогда в виде суммы двух квадратов не представимы (19 =?2 +?2). Это свойство простых чисел формулируется изящно и просто, но все попытки доказать, что им обладает любое простое число, наталкиваются на значительные трудности. Для Ферма это доказательство было всего лишь одним из многих доказательств, хранимых им «приватно», для Эйлера восстановить доказательство стало делом чести. В 1749 году, после семи лет работы и почти через сто лет после смерти Ферма, Эйлеру удалось доказать эту теорему о простых числах.
   В сокровищнице полученных Ферма результатов встречаются различные теоремы — от фундаментальных до чисто занимательных. Математики судят о важности теоремы по тому, какое влияние она оказывает на остальную математику. Во-первых, теорема считается важной, если она представляет собой некую универсальную истину, то есть если она верна для всей группы чисел. В случае теоремы Ферма о простых числах, теорема верна не только для некоторых простых чисел, а для всех простых чисел. Во-вторых, важная теорема должна раскрывать какую-нибудь более глубоко лежащую истину об отношениях между числами. Теорема может быть трамплином для создания целого сонма других теорем и даже стимулом для развития новых областей математики. Наконец, теорема считается важной, если существование целых областей исследования может оказаться под угрозой из-за отсутствия одного-единственного логического звена. Многие математики исходили бессильными слезами при мысли, что могли бы получить важный результат, если бы могли восстановить одно недостающее звено в цепочке логических рассуждений.
   Поскольку математики используют теоремы как ступени, ведущие к другим результатам, было чрезвычайно важно доказать каждую из анонсированных Ферма теорем. Использовать Великую теорему только потому, что, по утверждению Ферма, он располагал ее доказательством, было невозможно. Прежде чем пустить Великую теорему в дело, ее необходимо было доказать со всей строгостью, иначе последствия могли быть самыми ужасными. Например, представьте себе математиков, которые приняли одну из теорем Ферма на веру. Эта теорема была бы включена ими как отдельный элемент в целую серию других, более обширных, доказательств. Со временем эти более обширные доказательства были бы включены в еще более обширные доказательства, и т. д. В результате появились бы сотни теорем, которые бы опирались на истинность той самой недоказанной, принятой на веру, теоремы. Но что если Ферма ошибся, и недоказанная теорема в действительности ложна? Все теоремы, в доказательствах которых была бы использована ложная теорема, также оказались бы ошибочными, и огромные разделы математики рухнули бы. Теоремы — фундамент математики: если истинность теорем установлена, то, опираясь на них, можно возводить, пребывая при этом в полной безопасности, новые теоремы. Необоснованные (недоказанные) идеи имеют бесконечно меньшую ценность и называются гипотезами. Любая логика, опирающаяся на гипотезу, сама гипотетична.
   Ферма утверждал, что располагает доказательством любого из своих примечаний, поэтому для него все они были теоремами. Но до тех пор, пока математическое сообщество в целом не восстановит каждое доказательство, все утверждения, содержащиеся в примечаниях, рассматриваются лишь как гипотезы. На протяжении последних 350 лет Великую теорему Ферма правильнее было бы называть Великой гипотезой Ферма.
   За прошедшие столетия одно за другим были доказаны все утверждения Ферма, содержавшиеся в примечаниях на полях «Арифметики» Диофанта, и только Великая теорема Ферма упорно не поддавалась усилиям математиков. Ее даже стали называть «последней теоремой Ферма», так как она осталась последним его примечанием, которое требовалось доказать. Триста лет все попытки найти ее доказательство одна за другой терпели поражение. Великая теорема ферма обрела известность как самая трудная «головоломка» математики. Но всеми признанная трудность проблемы не обязательно означает, что Великая теорема Ферма важна в том смысле, в каком это понимается выше. Великая теорема Ферма, по крайней мере вплоть до самого последнего времени, не удовлетворяла нескольким критериям: казалось, что если бы ее удалось доказать, то это не привело бы ни к какому сколько-нибудь заметному прогрессу в развитии теории чисел и не способствовало бы доказательству других гипотез.
   Слава Великой теоремы Ферма обусловлена исключительно тем, что доказать ее необычайно трудно. Есть и еще один дополнительный стимул: «князь любителей» заявил, что располагает доказательством этой теоремы, над восстановлением которой с тех пор ломали голову поколения профессиональных математиков. Небрежные замечания Ферма на полях принадлежавшего ему экземпляра «Арифметики» Диофанта читались как вызов всему миру. Ферма доказал свою Великую теорему, удастся ли какому-нибудь математику превзойти или сравняться с ним по блеску ума?
   Г.Г. Харди обладал весьма своеобразным чувством юмора. Как-то раз он задумался, что в математическом наследии прошлого могло бы сравниться с Великой теоремой Ферма по тщетности всех попыток найти доказательство. К найденному им аналогу Великой теоремы Ферма Харди обращался всякий раз, когда ему приходилось преодолевать страх перед морскими путешествиями. Для него это было своего рода страхованием от несчастного случая. Если Харди предстояло пересечь Атлантический океан на борту лайнера, он предварительно посылал кому-нибудь из коллег телеграмму следующего содержания:
   ДОКАЗАЛ ГИПОТЕЗУ РИМАНА ТЧК ПОДРОБНОСТИ ПО ВОЗВРАЩЕНИИ ТЧК
   Гипотеза Римана — проблема, которой математика «больна» с XIX века. Логика Харди состояла в том, что Бог не даст ему утонуть потому, что тогда математики устремились бы в погоню за еще одним неуловимым призраком.
   Великая теорема Ферма — задача невероятно трудная, и тем не менее ее можно сформулировать так, что она станет понятной даже школьнику. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто и определенно и оставалась нерешенной так долго. В своей книге «Великая проблема» Э.Т. Белл высказал предположение, что возможно, наша цивилизация подойдет к концу прежде, чем удастся доказать Великую теорему Ферма. Доказательство Великой теоремы Ферма стало самым ценным призом в теории чисел, и поэтому не удивительно, что поиски его привели к некоторым наиболее захватывающим эпизодам в истории математики. В эти поиски оказались вовлеченными величайшие умы на нашей планеты, за доказательство назначались огромные премии. Из-за Великой теоремы Ферма люди дрались на дуэли, а некоторые, отчаявшись найти доказательство, даже кончали с собой.
   Статус Великой головоломки вышел за рамки замкнутого мира математики. В 1958 году Великая теорема Ферма проникла даже в легенду о Фаусте. В сборнике «Как иметь дело с дьяволом» была опубликована новелла Артура Порджеса «Дьявол и Саймон Флэгг». В ней дьявол обращается к профессору математики Саймону Флэггу с предложением задать ему, дьяволу, какой-нибудь вопрос. Если дьяволу удастся найти ответ за двадцать четыре часа, то он получает душу Саймона. В случае неудачи дьявол обязуется уплатить Саймону 100000 долларов. Саймон задает дьяволу вопрос: «Верна ли Великая теорема Ферма?» Дьявол исчезает и носится по свету, собирая по крохам все достижения математики. На следующий день он возвращается и признает свое поражение: «Вы выиграли, Саймон, — сказал дьявол, почтительно глядя на профессора. — Даже мне не под силу выучить всю математику, которая необходима для решения столь трудной задачи за столь короткое время. Чем глубже я погружаюсь в проблему, тем труднее она становится. Неединственное разложение на множители, идеальные числа… Да что зря говорить! Знаете, — признался дьявол, — даже самые лучшие математики на других планетах, а они, должен вам сказать, намного опередили ваших, не решили ее. Взять хотя бы того парня на Сатурне, что очень похож на гриб на ходулях. Он в уме решает дифференциальные уравнения в частных производных. Так даже он не справился с этой задачей».

Глава 3. Позор математики

   Математика — не церемониальный марш по гладкой дороге, а путешествие по незнакомой местности, где исследователи часто рискуют заблудиться. Строгость должна стать указанием для историка о том, что данная местность нанесена на карту, а настоящие исследователи отправились дальше.
У.С. Энглин
   «С тех пор, как я еще мальчиком впервые столкнулся с Великой теоремой Ферма, она стала моим увлечением на всю жизнь, — вспоминает Эндрю Уайлс, и его дрогнувший голос выдает тот трепет, с которым он относится к этой задаче. — Я обнаружил, что эта проблема оставалась нерешенной на протяжении трех столетий. Не думаю, чтобы многие из моих школьных друзей подхватили математическую лихорадку, поэтому я не стал обсуждать проблему Ферма с моими одногодками. Но мой учитель математики сам занимался исследованиями, и он дал мне книгу по теории чисел, из которой я почерпнул кое-какие указания относительно того, как приступить к решению проблемы. Прежде всего я решил (и принял это в качестве исходной гипотезы), что Ферма не мог знать намного больше математики, чем я. И я попытался найти его утерянное доказательство, используя те разделы математики, которые мог использовать он сам».
   Уайлс был наивным ребенком, преисполненным честолюбивых замыслов, который мечтал достичь успеха там, где потерпели неудачу поколения математиков. Кому-нибудь другому такое намерение могло бы показаться глупой мечтой, но юный Эндрю был совершенно прав, полагая, что он, двенадцатилетний школьник, живущий в XX веке, знает математику в ничуть не меньшем объеме, чем Пьер де Ферма — гений, живший в XVII веке. В своей наивности он действительно мог наткнуться на доказательство, которое пропустили Другие, более искушенные, математики.
   Но, несмотря на весь энтузиазм Эндрю, все его попытки доказать Великую теорему Ферма неизменно оканчивались неудачей.
   Изрядно поломав голову и подробнейшим образом изучив школьные учебники, он не сумел добиться ничего. После года бесплодных поисков Эндрю решил изменить стратегию и попытаться извлечь что-нибудь полезное для себя из ошибок известных математиков. История Великой теоремы Ферма была необычайно романтичной. Много людей размышляли над ней, и не один великий математик в прошлом пытался доказать ее и потерпел неудачу, отчего Великая проблема становилась все большим вызовом и все большей тайной. «Многие математики XVIII и XIX веков. пытались самыми различными способами доказать Великую теорему Ферма, и я, мальчишка, решил изучить все эти методы и понять, что делали великие математики прошлого».
   Юный Уайлс принялся изучать методы всех, кто когда-либо делал серьезную попытку доказать Великую теорему Ферма. И начал он с изучения трудов одного из наиболее плодовитых математиков в истории, которому удалось осуществить первый прорыв в битве с Великой теоремой Ферма.

Математик-циклоп

   Создание математики — занятие мучительное и таинственное. Объект доказательства часто бывает ясен, но путь к доказательству теряется в тумане, и математик бредет наощупь, производя выкладки и опасаясь, что каждый шаг может увлечь ход рассуждений в совершенно неверном направлении. Кроме того, всегда существует возможность того, что пути к доказательству вообще не существует. Решив, что некоторое утверждение истинно, математик может годами пытаться доказать его, хотя в действительности это утверждение ложно. По существу, математик в этом случае пытается доказать невозможное.
    За всю историю математики лишь горстке математиков удалось избежать такого рода сомнений, которые страшили их коллег. Возможно, наиболее известным из математиков, не ведающих страха и упрека, был живший в XVIII веке математический гений Леонард Эйлер. Именно ему удалось совершить первый крупный прорыв к доказательству Великой теоремы Ферма. Эйлер обладал столь невероятной интуицией и такой обширной памятью, что, по преданию, мог держать в голове весь объем производимых вычислений, не прикасаясь пером к бумаге. Вся Европа называла его «прирожденным аналитиком», а французский академик Франсуа Араго сказал о нем: «Эйлер вычислял без видимых усилий, как люди дышат или как орлы парят в поднебесье».
   Леонард Эйлер родился в Базеле в 1705 году в семье кальвинистского пастора Пауля Эйлера. Хотя юный Эйлер проявил недюжинный математический талант, его отец решил, что сын должен изучать теологию, и готовил ему церковную карьеру. Леонард повиновался отцовской воле и стал изучать теологию и древнееврейский язык в Базельском университете.
   К счастью для Эйлера, Базель был родиной знаменитого клана Бернулли. Бернулли могли бы с полным основанием претендовать на звание самого математического рода: восемь представителей семьи Бернулли принадлежали к числу самых выдающихся умов Европы на протяжении всего лишь трех поколений. Говорили, что семья Бернулли стала для математики тем же, чем семья Баха была для музыки. Слава рода Бернулли распространилась за пределы математического сообщества, и одна легенда ярко рисует «профиль» семейства. Однажды Даниил Бернулли путешествовал по Европе и вступил в беседу с незнакомцем. Спустя какое-то время он скромно представился своему собеседнику: «Я — Даниил Бернулли». «А я, — саркастически ответил тот, — Исаак Ньютон». Даниил охотно вспоминал этот случай несколько раз, считая его самым искренним признанием своих заслуг, которое ему когда-либо довелось получать.
   Даниил и Николай Бернулли были близкими друзьями Леонарда Эйлера, и они первыми поняли, что на их глазах происходит превращение блестящего математика в самого заурядного теолога. Они обратились к Паулю Эйлеру и упросили его разрешить Леонарду оставить теологию ради чисел. Эйлер-старший сам в прошлом изучал математику у старшего Бернулли, Якоба, и испытывал к семье Бернулли глубочайшее почтение. С большой неохотой Пауль Эйлер был вынужден признать, что его сын рожден не для молитв, а для вычислений.
   Вскоре Леонард Эйлер покинул Швейцарию, сменив родной Базель на дворцы Берлина и Санкт-Петербурга, где он и провел бóльшую часть своей творческой жизни. В эпоху Ферма математиков считали любителями жонглировать числами, но к началу XVIII века их уже рассматривали как профессиональных «решателей задач». Культура чисел резко изменилась, и произошло это отчасти благодаря сэру Исааку Ньютону и его научным результатам.
   Ньютон полагал, что математики лишь впустую тратят время, поддразнивая друг друга пустыми и никчемными задачами-головоломками. Вместо этого он вознамерился применять математику к физическому миру и вычислять все, что только можно, — от орбит планет до траекторий пушечных ядер. К тому времени, когда Ньютон умер (это произошло в 1727 году), в Европе произошла научная революция. В тот же год Эйлер опубликовал свою первую работу. И хотя она содержала изящные и свежие математические идеи, ее главная цель состояла в описании решения одной технической проблемы, связанной с постановкой мачт на парусных кораблях.
   Европейские державы не были заинтересованы в использовании математики для изучения эзотерических и абстрактных понятий; математика была им необходима для решения практических проблем, и правительства состязались в привлечении к себе на службу лучших умов. Эйлер начал свою математическую карьеру в России, затем его пригласил в Берлинскую академию король Пруссии Фридрих Великий. В царствование Екатерины Великой Эйлер вернулся в Россию, где он и провел последние годы жизни. За годы своей деятельности Эйлер решил множество задач из самых различных областей — от навигации до финансов, от акустики до ирригации. Практический мир решения насущных проблем не притупил математические способности Эйлера. Наоборот, для решения каждой новой проблемы Эйлер изобретал новый остроумный математический подход. Столь «односторонняя» направленность его ума приводила к тому, что в иной день Эйлеру случалось писать по несколько работ. Рассказывают, что между первым и вторым приглашением к обеденному столу Эйлер как-то раз попытался выполнить вычисления, заслуживающие публикации. Эйлер не терял ни минуты. Укачивая одной рукой младенца в колыбели, он другой рукой набрасывал доказательство теоремы.
   Одним из величайших достижений Эйлера стала разработка алгоритмического мышления. Отличительная особенность эйлеровских алгоритмов состояла в том, что они предназначались для решения проблем, казавшихся неразрешимыми. Одной из таких проблем было высокоточное предсказание фаз Луны — информация о фазах Луны имела жизненно важное значение для составления таблиц, необходимых для мореплавания. Еще Ньютон показал, что можно сравнительно легко предсказывать орбиту одного тела, обращающегося вокруг другого, но в случае Луны ситуация не столь проста.
   Луна обращается вокруг Земли, но третье тело — Солнце — существенно усложняет картину. Земля и Луна притягивают друг друга, а Солнце возмущает положение Земли и сталкивает Луну с ее идеальной орбиты вокруг Земли. Уравнения позволяли описать поведение Земли и Луны, но математики XVIII века не умели учитывать в своих вычислениях влияние третьего тела. Даже сегодня невозможно предсказать, как будет вести себя точное решение этой задачи (класс таких задач называется «задачей трех тел»). Эйлер понял, что мореплавателям нет необходимости знать фазу Луны с абсолютной точностью — вполне достаточно такой точности, которая позволяет определить положение судна с точностью до нескольких морских миль. И он разработал рецепт, позволяющий получать не идеальное, а достаточно точное решение. Такой рецепт, называемый алгоритмом, позволяет получить сначала весьма приближенное, грубое решение. Затем это решение можно ввести в качестве исходных данных в тот же алгоритм и получить уже более точное решение. В свою очередь, уточненное решение, если его также ввести в алгоритм, порождает еще более точное решение, и т. д. После ста или около того итераций Эйлер получил возможность определить положение Луны с точностью, достаточной для нужд мореплавания. Свой алгоритм Эйлер представил британскому Адмиралтейству и получил награду в триста фунтов стерлингов.
   Эйлер заслужил репутацию человека, способного решить любую поставленную ему задачу, причем не только математическую. В бытность свою при дворе Екатерины Великой он встретил великого французского философа Дени Дидро. Тот был убежденным атеистом и пытался обратить в атеизм представителей русской знати. Разгневанная этим Екатерина обратилась к Эйлеру с просьбой пресечь деятельность французского безбожника.
   Эйлер поразмыслил над просьбой императрицы и объявил, что располагает алгебраическим доказательством существования Бога. Екатерина Великая пригласила Эйлера и Дидро во дворец и собрала на теологический спор всех придворных. Эйлер встал перед аудиторией и заявил:
   «Сир! (a + bn)/n = x, следовательно Бог существует. Что Вы имеете возразить?»
   Дидро не был силен в алгебре и не мог ничего возразить величайшему математику Европы. Ему оставалось только безмолвствовать. Потерпев унизительное поражение, он покинул Санкт-Петербург и вернулся в Париж. Эйлер же на какое-то время вернулся к занятиям теологией и опубликовал еще несколько шутливых доказательств относительно природы Господа Бога и человеческого духа.
   Более «земная» задача, привлекшая внимание Эйлера, большого любителя головоломных проблем, связана с прусским городом Кёнигсбергом (ныне — российский город Калининград). Город стоит на берегах реки Прегили и состоит из четырех частей, соединенных между собой семью мостами. План города схематически изображен на рис. 7. Некоторые из любопытных жителей Кенигсберга заинтересовались, можно ли обойти все семь мостов, не переходя ни по одному из них дважды. Кое-кто из обитателей Кенигсберга попытался проложить различные маршруты, но ничего хорошего из этого не вышло. Эйлеру также не удалось обойти все семь кёнигсбергских мостов, побывав на каждом только один раз, но зато он сумел объяснить, почему сделать это невозможно.
   Рис. 7. Река Прегиль делит Кёнигсберг на четыре несвязанные части A, B, C и D. Различные части города соединены между собой семью мостами. Можно ли обойти все семь мостов побывав на каждом один и только один раз?

    Рис. 8. Упрощенная схема семи кёнигсбергских мостов

   Эйлер взял план города и заменил его упрощенной схемой, на которой части города изображены точками (узлами), а мосты — линиями (ребрами), как на рис. 8. Затем Эйлер стал рассуждать так. Чтобы существовал маршрут, позволяющий обойти ровно по одному разу все мосты, каждая точка на схеме должна принадлежать четному числу линий. Это связано с тем, что в середине обхода путешественник, проходя какую-то из частей города, должен войти в нее по одному мосту, а выйти — по другому. Из этого правила существуют лишь два исключения: когда путешественник начинает или завершает обход. В самом начале обхода путешественник покидает некую часть города, и для выхода из нее необходим только один-единственный мост. Если обход начинается и заканчивается в различных частях города, то число мостов, ведущих к каждой из них нечетно. Но если обход начинается и заканчивается в одной и той же части города, то соответствующая ей точка на схеме, как и все другие точки, должна принадлежать четному числу линий (т. е. эта часть города должна быть соединена с другими частями четным числом мостов).
   Таким образом, заключил Эйлер, какой бы ни была сеть мостов, обойти все мосты, побывав на каждом по одному и только одному разу, можно только в том случае, если все части города соединены с другими четным числом мостов или если ровно две части города соединены с другими частями нечетным числом мостов. В Кенигсберге город подразделяется всего на четыре части, — и все они соединены с другими частями нечетным числом мостов. На схеме Кенигсберга три точки принадлежат трем линиям, а одна — пяти линиям. Тем самым Эйлер не только сумел объяснить, почему все семь кёнигсбергских мостов невозможно обойти, побывав на каждом один и только один раз, но и придумал правило, применимое к любой сети мостов в любом городе мира. Рассуждения Эйлера отличаются замечательной красотой. По-видимому, такого сорта логические задачи Эйлер и любил решать за обедом.
   Задача о семи кёнигсбергских мостах принадлежит к числу так называемых задачах о графах в прикладной математике. Именно она побудила Эйлера к рассмотрению более абстрактных графов. В ходе своих исследований Эйлер открыл фундаментальную истину, относящуюся ко всем графам, — так называемую формулу Эйлера для графов, которую ему удалось доказать за несколько логических шагов. Формула Эйлера для графов выражает незыблемое соотношение между тремя элементами любой графа:
V — R + L = 1,
   где
   V — число вершин (узлов, или пересечений) в графе,
   R — число линий (ребер) в графе,
   L — число замкнутых областей в графе.
   Таким образом, по утверждению Эйлера, если к числу вершин любого графа прибавить число замкнутых областей и вычесть число его ребер — результат всегда окажется равен единице. Например, все графы на рис. 9 удовлетворяют формуле Эйлера.
 Вершины  = 4
Области = 3
Линии = 6
 Вершины  = 6
Области = 1
Линии = 6
 Вершины  = 5
Области = 10
Линии= 6
   Рис. 9. Различные графы, удовлетворяющие формуле Эйлера

   Рис. 10. Эйлер доказал свою формулу для графов, продемонстрировав, что она выполняется для простейшего графа, а затем показав, что формула остается верной при любых «дополнениях» к единственной вершине

   Можно проверить формулу Эйлера на целой серии графов, и всякий раз она оказывается верной; возникает искушение предположить, что формула Эйлера верна для всех графов. И хотя такой проверки было бы достаточно для физической теории, для обоснования математической теории ее совершенно недостаточно. Единственный способ показать, что формула Эйлера остается в силе для любого мыслимого графа, — построить безупречное с точки зрения логики доказательство. Именно так и поступил Эйлер.
   Свое доказательство Эйлер начал с простейшего из графов — с графа, состоящего из одной единственной вершины (рис. 10а). Ясно, что для такого графа формула Эйлера верна: имеется всего одна вершина, линий и областей нет, поэтому
   V + R — L = 1 + 0–0 = 1.
   Затем Эйлер рассмотрел вопрос о том, что произойдет в том случае, если он что-нибудь добавит к этому простейшему графу. Любое добавление к нему требует добавления линии. Любая линия может соединять существующую вершину либо с самой собой, либо с какой-нибудь новой вершиной.
   Во-первых, рассмотрим случай, когда дополнительная линия соединяет существующую вершину с самой собой. Как видно из рис. 10б, при добавлении линии в этом случае добавляется также новая область. Следовательно, формула Эйлера для графов остается в силе, так как добавление одной области (+) компенсируется добавлением одной линии (—). При добавлении новых линий того же типа формула Эйлера для графов также останется в силе, так как каждая новая линия порождает новую область.
   Во-вторых, рассмотрим, что произойдет, если дополнительная линия соединит существующую вершину с новой вершиной, как на рис. 10в. И в этом случае формула Эйлера остается в силе, так как новая вершина (+) компенсирует новую линию (—). При добавлении новых линий того же типа формула Эйлера также остается в силе, поскольку каждая дополнительная линия рассматриваемого типа заканчивается в новой вершине.
   Вот и все, что требовалось Эйлеру для его доказательства. Он рассуждал так. Формула верна для простейшего из всех графов — одной-единственной вершины. Все остальные графы, сколь бы сложными они ни были, могут быть построены из простейшего путем прибавления линий — по одной линии за один раз. Всякий раз при добавлении к графу новой линии формула остается верной, потому что вместе с линией добавляется либо новая вершина, либо новая область, и тем самым компенсируется добавление линии. Эйлер разработал простую, но мощную стратегию. Он доказал, что его формула верна для простейшего графа, состоящего из одной-единственной вершины, и что любая операция, приводящая к усложнению графа, не нарушает формулу для графов. Следовательно, формула верна для бесконечного множества всех возможных графов.
   Впервые столкнувшись с Великой теоремой Ферма, Эйлер, должно быть, понадеялся на то, что ему удастся найти доказательство, если он будет придерживаться аналогичной стратегии. Великая теорема Ферма и формула Эйлера для графов уходят своими корнями в весьма различные области математики, но одна особенность у них была общей: они обе нечто утверждали относительно бесконечно многих объектов. Формула Эйлера утверждает, что для бесконечно многих графов, которые только существуют на свете, число вершин плюс число областей минус число линий всегда равно единице. Великая теорема Ферма утверждает, что бесконечно много уравнений не допускают решения в целых числах. Напомним, что теорема Ферма утверждает следующее: уравнение
xn + yn = zn, где n — любое целое число большее 2,
   не допускает решения в целых числах.
   Это уравнение в действительности представляет собой бесконечную систему уравнений
   x3 + y3 = z3,
   x4 + y4 = z4,
   x5 + y5 = z5,
   x6 + y6 = z6,
   x7 + y7 = z7,
   . . . . . .
   Эйлер попытался выяснить, нельзя ли доказать, что одно из уравнений не допускает решений в целых числах, а затем экстраполировать полученный результат на все остальные уравнения (точно так же, как он доказал свою формулу для всех графов).
   Первый шаг к осуществлению задуманного Эйлер совершил, когда обнаружил ключ к доказательству в кратких записях на полях «Арифметики» Диофанта. Хотя Ферма не оставил развернутого доказательства Великой теоремы, он в другом месте того же экземпляра «Арифметики» написал в зашифрованном виде доказательство для случая n=4, включив его в решение совершенно другой задачи. Это были самые подробные вычисления, которые Ферма когда-либо доверил бумаге, но всё же детали всё ещё были обрывочны и расплывчаты, а в заключение доказательства Ферма ссылается на то, что недостаток времени и места не позволяют ему дать более полное объяснение. Несмотря на отсутствие многих важных деталей в беглых заметках Ферма, в них отчетливо просматривался один из способов доказательства от противного, известный под названием метода бесконечного спуска.
   Чтобы доказать, что уравнение x4 + y4 = z4 не допускает решения в целых числах, Ферма начал с предположения о существовании гипотетического решения в целых числах
   x = X1, y = Y1, z = Z1.
   При изучении свойств чисел (X1, Y1, Z1) Ферма показал, что если бы такое гипотетическое решение действительно существовало, то существовало бы меньшее решение (X2, Y2, Z2). Рассматривая это новое решение, Ферма смог показать, что если бы оно существовало, то существовало бы еще меньшее решение (X3, Y3, Z3) и т. д.
   Ферма обнаружил нисходящую лестницу решений, которая теоретически могла бы продолжаться неограниченно, порождая все меньшие и меньшие решения. Но x, y и z должны быть целыми положительными (так называемыми натуральными) числами, поэтому нескончаемая нисходящая лестница невозможна, потому что должно быть наименьшее целочисленное решение. Полученное противоречие доказывает, что начальное предположение о существовании решения (X1, Y1, Z1) было ложным. Итак, используя метод бесконечного спуска, Ферма доказал, что при n=4 уравнение xn + yn = zn не может иметь целочисленных решений.
   Эйлер попытался воспользоваться методом бесконечного спуска в качестве исходного пункта при построении общего доказательства для всех других степеней в уравнении Ферма. Он хотел получить доказательство для всех n вплоть до бесконечности, но прежде всего он хотел «опуститься на одну ступень» и получить доказательство при n=3. В письме к прусскому математику Христиану Гольдбаху в августе 1753 года Эйлер сообщил, что ему удалось приспособить метод бесконечного спуска и успешно доказать Великую теорему Ферма для случая n=3. Так через сто лет после смерти Ферма впервые удалось сделать первый шаг на пути к решению его проблемы.
   Чтобы распространить предложенное Ферма доказательство со случая n=4 на случай n=3, Эйлеру пришлось ввести в игру довольно причудливое понятие так называемого мнимого числа — величины, открытой европейскими математиками в XVI веке. Говорить о новых числах, что они были «открыты» довольно странно, но ощущение необычности возникает главным образом потому, что мы настолько привыкаем к постоянно и широко используемым числам, что забываем о временах, когда некоторые из этих чисел не были известны. И отрицательные, и иррациональные — все эти числа в свое время приходилось открывать, и мотивация в каждом случае сводилась к необходимости решить задачу, неразрешимую в уже известных числах.
   История теории чисел начинается с обыкновенных чисел, используемых для счета — 1,2,3…, — известных под названием натуральных чисел. Эти числа идеально подходят для сложения простых целых величин, таких, как овцы или золотые монеты, чтобы узнать, сколько всего таких величин — их общее количество также есть целое число. Наряду со сложением еще одна простая операция, умножение, производимая над целыми числами, также порождает другие целые числа. Но операция деления приводит к довольно неприятной проблеме. При делении числа 8 на 2 мы получаем 4, но при делении числа 2 на 8 ответ получается равным 1/4. Результатом деления в последнем случае является не целое число, а дробь.
   Деление — простая операция, выполняемая над натуральными числами — вынуждает нас выйти за пределы натуральных чисел. Для математика, по крайней мере, теоретически, немыслима ситуация, в которой нет ответа на вопрос, чему равен результат простой операции, производимой над целыми числами. Необходимость существования ответа называется полнотой. Не будь дробей, некоторые вопросы относительно целых чисел остались бы без ответа. Математики выражают это обстоятельство, говоря, что дроби необходимы для полноты.
   Именно необходимость полноты вынудила индийских математиков открыть отрицательные числа. Индийские математики заметили, что если 3 вычесть из 5, то получится 2, а 5 вычесть из 3 не так просто. Ответ не мог быть получен в натуральных числах и понять его можно, только если ввести понятие отрицательного числа. Некоторые математики не приняли столь абстрактного обобщения натурального числа и отзывались об отрицательных числах как «нелепых» и «фиктивных». Пересчитывая золотые монеты, можно подержать в руке одну монету или даже полмонеты, но взять в руку «минус одну» монету решительно невозможно.
   Древние греки были обуяны стремлением к полноте, и эта страсть привела их к открытию иррациональных чисел. В главе 2 мы уже обсуждали квадратный корень из 2. Греки знали, что это число приближенно равно 7/5, но когда они попытались найти точную дробь, равную √2, то обнаружили, что такой дробь не существует. Перед ними было число, не представимое в виде дроби, но этот новый тип числа был необходим, чтобы ответить на вопрос: «Чему равен квадратный корень из двух?» Требование полноты означало, что к империи чисел необходимо присоединить еще одну колонию.
   К наступлению эпохи Возрождения математики стали думать, что открыли все мыслимые «сорта» чисел на свете. Все числа можно было считать расположенными на числовой оси в обе стороны прямой с нулем в центре, как на рис. 11. Целые числа располагались на числовой оси через равные промежутки, положительные простирались до плюс бесконечности справа от нуля, отрицательные — до минус бесконечности слева от нуля. Дроби располагались в промежутках между целыми числами, а иррациональные числа заполняли пробелы между дробями.
    Рис. 11. Все числа можно расположить на числовой оси, простирающейся до бесконечности в обе стороны

   Числовая ось наводила на мысль о том, что полнота достигнута. Все числа находились на своих местах, готовые ответить на все математические вопросы, — во всяком случае на числовой оси не оставалось свободных мест ни для каких новых чисел. Но в XVII веке снова начались неприятности. Итальянский математик Рафаэлло Бомбелли, занимаясь изучением квадратных корней из различных чисел, столкнулся с вопросом, не имевшим готового ответа.
   Все началось с вопроса: «Чему равен квадратный корень из единицы, т. е. число √1?» Очевидный ответ гласит: единице, так как 1·1=1. Менее очевиден другой ответ: квадратный корень из единицы равен минус единице, т. е. числу –1. Отрицательное число при умножении на отрицательное число, дает положительное, в частности, (–1)·(–1) = 1. Следовательно, квадратный корень из +1 имеет два значения: +1 и –1. Такое обилие ответов само по себе превосходно, но сразу же возникает другой вопрос: «Чему равен квадратный корень из минус единицы, т. е. √–1?» [6] Кажется, что этот вопрос не имеет ответа. Ни +1, ни –1 не годятся в качестве ответа — оба числа в квадрате дают +1. Но никаких других «кандидатов» не видно. Между тем полнота требует, чтобы мы умели отвечать и на вопрос о том, чему равен квадратный корень из –1.
   Чтобы ответить на этот вопрос, Бомбелли пришлось ввести новое число i, определив его просто как ответ на вопрос: «Чему равен квадратный корень из минус единицы?». На первый взгляд может показаться, что ввод i — малодушная попытка обойти решение проблемы, но предпринятый Бомбелли ход ничем не отличается от того, как были введены отрицательные числа. Столкнувшись с неразрешимой при ином подходе задачей, индийские математики определили число –1 как ответ на вопрос: «Что получится, если от нуля отнять единицу?». Число –1 кажется более приемлемым только потому, что из повседневного опыта нам знакомо аналогичное понятие «долга», в то время как в реальном мире нет ничего, что подкрепляло бы понятие мнимого числа. Немецкий математик XVII века Готтфрид Лейбниц дал следующее изящное описание необычайной природы мнимого числа: «Мнимое число — это бестелесное и преудивительное прибежище Божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием».
   Коль скоро мы определили число i как квадратный корень из –1, то должно существовать число 2i, так как оно равно сумме i плюс i (а также квадратному корню из –4). Аналогично, должно существовать и число i/2, так как оно получается при делении i на 2. Выполняя простые операции, можно получить мнимый эквивалент каждого так называемого действительного числа. Существуют мнимые натуральные числа, мнимые отрицательные числа, мнимые дроби и мнимые иррациональные числа. Проблема, которая теперь возникает, заключается в том, что у всех этих мнимых чисел нет своего естественного места на действительной числовой оси. Математики разрешили возникший кризис, введя еще одну — мнимую — ось, перпендикулярную действительной оси и пересекающую ее в нуле, как показано на рис. 12. Числа перестали занимать одномерную прямую, а расположились на двумерной плоскости. Чисто мнимые или чисто действительные числа заполняют соответствующие оси — действительную и мнимую, а комбинации действительного и мнимого чисел (например, 1+2i) называются комплексными числами и обитают на так называемой числовой плоскости.

    Рис. 12. Введение оси для мнимых чисел превращает числовую ось в числовую плоскость. Каждой комбинации действительного и мнимого чисел соответствует определенная точка на числовой плоскости

   Особенно замечательно, что в комплексных числах решается любое алгебраическое уравнение. Например, чтобы вычислить √3+4i, математикам не нужно изобретать числа нового типа: оказывается, что ответ равен 2+i, т. е. другому комплексному числу. Иначе говоря, создается впечатление, что мнимые числа — последний элемент, необходимый для завершения математики.
   Хотя квадратные корни из отрицательных чисел получили название мнимых чисел, математики считают число i ничуть не более абстрактным, чем отрицательное или любое натуральное число. Кроме того, физики обнаружили, что мнимые числа дают лучший язык для описания некоторых явлений, протекающих в реальном мире. С помощью нехитрых манипуляций мнимые числа оказываются идеальным средством анализа естественного колебательного движения объектов, например, маятника. Такое колебательное движение, называемое на техническом языке синусоидальным колебанием, широко распространено в природе, и поэтому мнимые числа стали неотъемлемой составной частью многих физических расчетов. В наше время инженеры-электрики приспособили i к анализу переменных токов, а физики-теоретики вычисляют различные квантовомеханические эффекты с помощью осциллирующих волновых функций, суммируя степени мнимых чисел.
   В чистой математике мнимые числа используют для решения задач, ранее казавшихся неразрешимыми. Мнимые числа буквально добавили новое измерение к математике, и Эйлер надеялся, что ему удастся использовать эту дополнительную степень свободы в поисках доказательства Великой теоремы Ферма.
   И до Эйлера некоторые математики уже пытались приспособить метод бесконечного спуска Ферма для решения уравнения Ферма в целых числах при n, отличных от 4, но всякий раз попытка распространить метод приводила к каким-нибудь проблемам в логике. И только Эйлер показал, что, используя число i, можно заткнуть все дыры в доказательстве и заставить метод бесконечного спуска работать при n=3.
   Это было грандиозное достижение, но повторить успех при других значениях n Эйлеру не удалось. К сожалению, все попытки применить те же рассуждения к другим значениям вплоть до бесконечности закончились провалом. И математик, решивший больше задач, чем кто-либо другой за всю историю, был вынужден признать поражение — Великая теорема Ферма оставалась неприступной. Единственным утешением для Эйлера было то, что он осуществил первый серьезный прорыв в «круговой обороне» труднейшей математической проблемы в мире.
   Не обескураженный постигшей его неудачей, Эйлер продолжал создавать блестящие математические методы до конца своих дней, несмотря на то, что последние годы его жизни были омрачены полной слепотой. Эйлер начал слепнуть в 1735 году, когда Академия в Париже предложила премию за решение одной астрономической проблемы. Эта проблема была столь трудна, что математическое сообщество обратилось к Академии с просьбой дать на решение несколько месяцев, но Эйлеру отсрочка не была нужна. Задача настолько захватила его, что он, работая дни и ночи напролет, решил ее за трое суток и заслуженно получил премию. Но напряженнейшая работа в плохих условиях стоила Эйлеру, которому тогда едва исполнилось двадцать лет, потери одного глаза. Этот физический недостаток отчетливо виден на многих портретах Эйлера, в том числе и на том, который помещен в начале этой главы.
   По совету Жана Лерона д'Аламбера Эйлера при дворе Фридриха Великого сменил Жозеф Луи Лагранж, по поводу чего прусский король позже заметил: «Вашим заботам и рекомендациям я обязан тому, что заменил математика, слепого на один глаз, математиком, зрячим на оба глаза, что особенно придется по вкусу членам моей Академии по разряду анатомии». По возвращении Эйлера в Россию Екатерина Великая приветствовала своего «математического циклопа».
   Потеря одного глаза имела небольшой «плюс»: как заметил Эйлер, «у меня будет меньше возможностей отвлекаться». Сорок лет спустя, когда Эйлеру было уже шестьдесят, его состояние значительно ухудшилось: катаракта на здоровом глазе означала, что он обречен на полную слепоту. Эйлер решил не поддаваться болезни и начал тренироваться — зажмурив глаз, который видел все хуже и хуже, стал учиться писать вслепую, чтобы овладеть этим искусством прежде, чем свет навсегда померкнет для него. Через несколько недель Эйлер ослеп. Тренировка оказалась весьма кстати, но через несколько месяцев почерк Эйлера стал неразборчивым, и его сын Альберт взял на себя роль личного секретаря отца.
   На протяжении следующих семнадцати лет Эйлер продолжал активно заниматься математикой. Более того, его производительность возросла, как никогда прежде. Огромный интеллект Эйлера позволял ему манипулировать понятиями, не фиксируя их на бумаге, а феноменальная память служила полноценной заменой библиотеки. Коллеги даже высказывали предположение, что наступление слепоты расширило горизонты его воображения. Следует заметить, что вычисления положений Луны были выполнены Эйлером уже после наступления слепоты. Для европейских монархов составленные Эйлером таблицы были самым ценным математическим достижением, и решением проблемы, над которой трудились величайшие математики Европы, включая Ньютона.
   В 1776 году Эйлеру была сделана операция по удалению катаракты, и на несколько дней зрение, казалось, восстановилось. Но в больной глаз была занесена инфекция, и Эйлер снова погрузился во тьму. Не теряя бодрости духа, он продолжал работать до 18 сентября 1783 года, когда произошел роковой апоплексический удар. По словам математика и философа маркиза де Кондорсэ, «Эйлер перестал жить и вычислять».

Медленным шагом

   И через сто лет после кончины Эйлера существовали доказательства только в двух частных случаях Великой теоремы Ферма. Сам Ферма дал математикам фору, оставив им доказательство того, что уравнение
   x4 + y4 = z4
   не имеет решений в целых числах. Эйлер используя предложенный Ферма метод бесконечного спуска, доказал, что уравнение
   x3 + y3 = z3
   также не имеет решений в целых числах. После Эйлера все еще оставалось необходимо доказать, что бесконечный набор уравнений
   x5 + y5 = z5,
   x6 + y6 = z6,
   x7 + y7 = z7,
   x8 + y8 = z8,
   x9 + y9 = z9,
   . . . . . .
   не имеет решений в целых числах. И хотя математики продвигались поразительно медленно, ситуация складывалась далеко не так плохо, как могло бы показаться на первый взгляд. Оказалось, что доказательство для случая n=4 остается в силе при n=8, 12, 16, 20…. Дело в том, что любое число, представимое в виде 8-й (а также 12-й, 16-й, 20-й…) степени некоторого числа, представимо и в виде 4-й степени какого-то другого целого числа. Например, число 256 равно 28, но оно равно и 44. Следовательно, любое доказательство, которое «работает» для 4-й степени, остается в силе для 8-й и любой другой степени, кратной 4. На основе того же принципа можно утверждать, что эйлеровское доказательство для n=3 автоматически переносится на n=6, 9, 12, 15…. Тем самым Великая теорема Ферма утратила свой неприступный вид и оказалась верной сразу для многих чисел n.
   Особенно ценным было доказательство при n=3, так как число 3 — пример так называемого простого числа. Как мы уже объясняли, простое число обладает тем отличительным свойством, что оно не кратно ни одному целому числу, кроме 1 и самого себя. Помимо уже названного числа 3 простыми также являются числа 5,7,11,13… Все остальные числа кратны простым и называются составными числами. Те, кто занимается теорией чисел, считают простые числа наиболее важными потому, что те представляют собой как бы атомы чисел. Простые числа — «кирпичики», из которых построены все остальные числа, поскольку те можно получить как произведения различных комбинаций простых чисел. Казалось бы, это обстоятельство открывает путь к решению проблемы Ферма. Чтобы доказать Великую теорему Ферма при всех значениях n, достаточно доказать ее для простых значений n. Во всех остальных случаях числа n кратны простым числам, и доказательство следует из уже рассмотренных случаев.
   Интуитивно это необычайно упрощает проблему, так как дает возможность исключить из рассмотрения все значения n, которые не являются простыми числами. Резко сокращается число уравнений. Например, при значениях n до 20 доказательство следует провести только для шести уравнений:
   x5 + y5 = z5,
   x7 + y7 = z7,
   x11 + y11 = z11,
   x13 + y13 = z13,
   x17 + y17 = z17,
   x19 + y19 = z19.
   Если бы кому-нибудь удалось доказать Великую теорему Ферма для одних лишь простых значений n, то она оказалась бы доказанной для всех значений n. Целых чисел бесконечно много, простые же числа составляют лишь их незначительную долю. Возможно, теорема Ферма станет намного проще, если доказывать ее только для простых чисел?
   Интуиция подсказывает, что если вы начнете с какой-то бесконечной величины и изымите из нее бóльшую часть, то у вас останется нечто конечное. К сожалению, интуиция не может служить арбитром истины в математике. Роль арбитра исполняет логика. Оказывается, можно доказать, что перечень простых чисел бесконечен. Следовательно, несмотря на то, что мы можем исключить из рассмотрения подавляющее большинство уравнений при составных значениях n, количество уравнений Ферма с простыми значениями n по-прежнему остается бесконечным.
   Доказательство того, что простых чисел бесконечно много, восходит к Евклиду и принадлежит к числу классических рассуждений в математике. Евклид начинает с предположения о том, что перечень известных простых чисел конечен, и доказывает, что в этот перечень придется вносить бесконечно много дополнений. В самом деле, предположим, что в конечный исходный перечень Евклида внесено N простых чисел, которые мы обозначим P1, P2, P3…, PN . Из них Евклид образует новое число QA , такое, что
   QA = (PPP3·…·PN ) + 1.
   Какое оно, новое число QA , — простое или составное? Если оно простое, то нам удалось построить новое простое число, большее, чем любое простое число, указанное в исходном перечне. Это означало бы, что исходный перечень не полон. С другой стороны, если число QA составное, то оно должно без остатка делиться на какое-то из простых чисел. Это простое число-делитель не может быть одним из чисел, включенных в исходный перечень, так как при делении на любое из уже перечисленных простых чисел QA дает остаток, равный 1. Следовательно, делителем числа QA должно быть какое-то новое простое число, которое мы обозначим PN+1.
   Итак, мы пришли к тому, что либо QA само является простым числом, либо делится на какое-то новое простое число PN+1. И в том, и в другом случае исходный список простых чисел необходимо дополнить. Включив наше новое простое число (QA или PN+1) в перечень, мы можем повторить рассуждение и образовать новое число QB . Это новое число либо будет еще одним новым простым числом, либо будет делиться на простое число PN+2, еще не включенное в наш перечень известных простых чисел. Итогом этого рассуждения служит заключение, согласно которому сколь бы длинным ни был наш перечень простых чисел, его всегда можно дополнить новым простым числом. Следовательно, наш перечень никогда не кончится — он бесконечен.
   Но как может быть нечто, явно меньшее бесконечной величины, также быть бесконечным? Немецкий математик Давид Гильберт сказал однажды: «Бесконечность! Ни один вопрос не оказывал столь глубокого воздействия на человеческий дух, ни одна идея не стимулировала столь плодотворно интеллект человека, и тем не менее ни одно понятие не нуждается в прояснении так сильно, как понятие бесконечности». Чтобы разрешить парадокс бесконечности, необходимо определить, что следует понимать под бесконечностью. Георг Кантор, работавший над проблемой бесконечности наряду с Гильбертом, определил бесконечность как длину нескончаемого перечня натуральных чисел (1,2,3,4…). По Кантору, все, что по величине сравнимо с длиной перечня  натуральных чисел, также бесконечно.
   Следуя этому определению, нам придется признать, что множество четных натуральных чисел, которое интуитивно кажется меньше, чем множество всех натуральных чисел, также бесконечно. Нетрудно доказать, что всех натуральных чисел столько же, сколько четных натуральных чисел, поскольку каждому натуральному числу можно подобрать пару — соответствующее четное число:
   Коль скоро каждому элементу перечня натуральных чисел можно поставить в соответствие элемент перечня четных чисел, то оба перечня должны быть одинаковой длины. Такой метод сравнения приводит к некоторым удивительным заключениям, в том числе к заключению о существовании бесконечно многих простых чисел. Кантор был первым, кто занялся формальным анализом понятия бесконечности, и математическое сообщество подвергло его теорию множеств резкой критике за радикальное определение бесконечности, предложенное им. К концу творческого периода Кантора нападки на него стали принимать все более личный характер и привели к тяжелой душевной болезни и глубокой депрессии Кантора. Его идеи получили признание уже после его кончины как единственно последовательное и эффективное определение бесконечности. Воздавая должное заслугам Кантора, Гильберт сказал: «Никто не может изгнать нас из рая, который Кантор создал для нас».
   Гильберту принадлежит пример бесконечности, известный под названием «отель Гильберта» и наглядно иллюстрирующий необычные свойства бесконечности. Этот гипотетический отель обладает отличительным признаком: число номеров в этом отеле равно бесконечности. Однажды в отель прибывает новый гость и к своему разочарованию узнает, что, несмотря на бесконечно большое количество номеров, свободных мест нет. Гильберт, выступающий в роли портье, поразмыслив немного, уверяет нового гостя, что найдет для него свободный номер. Он просит каждого постояльца переселиться в соседний номер: постояльца из номера 1 переселиться в номер 2, постояльца из номера 2 — переселиться в номер 3, и т. д. Каждый из постояльцев, живших в отеле, получает новый номер, а новый гость поселяется в освободившийся номер 1. Это показывает, что бесконечность плюс один равна бесконечности. [7]
    На следующий вечер портье Гильберт столкнулся с гораздо более трудной проблемой. Как и накануне, отель был переполнен, когда прибыл бесконечно длинный лимузин, из которого высадилось бесконечно много новых гостей. Но Гильберта это нисколько не смутило, и он только радостно потирал руки при мысли о бесконечно многих счетах, которые оплатят вновь прибывшие. Всех, кто уже обосновался в отеле, Гильберт попросил переселиться, соблюдая следующее правило: обитателя первого номера — во второй номер, обитателя второго номера—в четвертый номер, и т. д., то есть каждого постояльца Гильберт попросил перейти в новый номер с вдвое большим «адресом». Все, кто жил в отеле до прибытия новых гостей, остался в отеле, но при этом освободилось бесконечно много номеров (все те, «адреса» которых нечетны), в которых находчивый портье расселил новых гостей. Этот пример показывает, что удвоенная бесконечность также равна бесконечности.
   Возможно, отель Гильберта наведет кого-нибудь на мысль, что все бесконечности одинаково велики, равны друг другу, и что любые различные бесконечности можно втиснуть в номера одного и того же бесконечного отеля, как это делал находчивый портье. Но в действительности одни бесконечности больше других. Например, любая попытка найти в пару каждому рациональному числу иррациональное число так, чтобы ни одно иррациональное число не осталось без своей рациональной пары, непременно заканчивается неудачей. И действительно, можно доказать, что бесконечное множество иррациональных чисел больше бесконечного множества рациональных чисел. Математикам пришлось создать целую систему обозначений и названий с бесконечной шкалой бесконечностей, и манипулирование с этими понятиями — одна из наиболее острых проблем нашего времени.
   Хотя бесконечность количества простых чисел навсегда разрушила надежды на скорое доказательство Великой теоремы Ферма, такой большой запас простых чисел пригодился, например, в таких областях как шпионаж или исследование жизни насекомых. Прежде чем мы вернемся к повествованию о поиске доказательства Великой теоремы Ферма, уместно немного отвлечься и познакомиться с тем, как правильно и неправильно используются простые числа.
* * *
   Теория простых чисел — одна из немногих областей чистой математики, которые нашли непосредственное приложение в реальном мире, а именно в криптографии. Криптография занимается кодированием секретных посланий с таким расчетом, чтобы декодировать их мог только получатель, а перехватчик расшифровать бы их не мог. Процесс кодирования требует использования ключа к шифру, и по традиции для дешифровки необходимо снабдить получателя этим ключом. При такой процедуре ключ — самое слабое звено в цепи обеспечения безопасности. Во-первых, получатель и отправитель должны условиться о деталях ключа, и обмен информацией на этом этапе сопряжен с определенным риском. Если противнику удастся перехватить ключ при обмене информацией, то он сможет дешифровывать все последующие послания. Во-вторых, для поддержания безопасности ключи необходимо регулярно менять, и при каждой замене ключа существует риск перехвата нового ключа противником.
   Проблема ключа вращается вокруг того факта, что применение ключа в одну сторону приводит к шифровке послания, а применение того же ключа в обратную сторону дешифрует послание — дешифровка производится столь же легко, как и шифровка. Но из опыта нам известно, что ныне существуют многие ситуации, когда дешифровка гораздо сложнее, чем шифровка: приготовить яичницу-болтунью несравненно легче, чем вернуть яичницу-болтунью в исходное состояние, разделив белки и желтки.
   В 70-е годы XX века Уитфилд Диффи и Мартин Хеллман занялись поиском математического процесса, который было бы легко выполнить в одну сторону, но невероятно трудно — в противоположную сторону. Такой процесс дал бы идеальный ключ. Например, у меня мог бы быть мой собственный ключ из двух частей, и его шифровальную часть я мог бы опубликовать в общедоступном месте. После этого любой желающий мог бы посылать мне зашифрованные послания, но дешифровальная часть ключа была бы известна только мне. И хотя шифровальная часть ключа была бы доступна всем, к дешифровальной части она не имела бы никакого отношения.
   В 1977 году Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман — группа математиков и специалистов по компьютерам из Массачусеттского технологического института — выяснили, что простые числа являются идеальным базисом для процесса легкой шифровки и трудной дешифровки. Чтобы изготовить мой собственный персональный ключ, я мог бы взять два огромных простых числа, каждое из которых содержит до 80 знаков, и, умножив одно число на другое, получить еще большее составное число. Все, что требуется для кодирования посланий, — это знать большое составное число, тогда как для дешифровки послания необходимо знать два исходных простых числа, которые мы перемножили, т. е. простые множители составного числа. Я могу позволить себе опубликовать большое составное число — шифровальную половину ключа, и сохранить в тайне два простых множителя — дешифровальную половину ключа. Очень важно, что хотя любому известно большое составное число, разложить его на два простых множителя чрезвычайно трудно.
   Рассмотрим более простой пример. Предположим, что я выбрал и сообщил всем желающим составное число 589, позволяющее каждому посылать мне шифрованные послания. Два простых множителя числа 589 я сохранил бы в тайне, поэтому расшифровать послания никто, кроме меня, не может. Если бы кому-нибудь удалось найти два простых множителя числа 589, то такой человек также смог бы дешифровывать адресованные мне послания. Но сколь ни мало число 589, найти его простые множители не так-то просто. В данном случае на настольном компьютере в несколько минут можно было бы обнаружить, что простые множители числа 589 равны 31 и 19 (31·19 = 589), поэтому мой ключ не мог бы гарантировать безопасность переписки особенно долго.
   Но если бы составное число, которое я опубликовал, содержало более сотни знаков, это делало бы поиск простых множителей практически неразрешимой задачей. Даже если для разложения огромного составного числа (шифровального ключа) на два простых множителя (дешифровального ключа) использовать самые мощные компьютеры, которые только существуют в мире, то и тогда, чтобы найти эти множители, понадобилось бы несколько лет. Следовательно, чтобы сорвать коварные планы иностранных шпионов, мне необходимо всего лишь ежегодно менять ключ. Раз в год я довожу до всеобщего сведения свое новое гигантское составное число, и тогда всякий, кто пожелает попытать счастья и расшифровать мои послания, будет вынужден приступать заново к разложению опубликованного числа на два простых множителя.
* * *
   Простые числа встречаются и в мире живой природы. У периодических цикад, известных как Magicicada septendecim, самый длинный жизненный цикл из всех насекомых. Их жизнь начинается под землей, где личинки терпеливо сосут соки из корней деревьев. И лишь через 17 лет ожидания взрослые цикады появляются из-под земли, собираются в огромные рои и на какое-то время заполоняют все вокруг. За несколько недель они спариваются, откладывают яйца, а затем умирают.
   Вопрос, который не давал биологам покоя, — почему жизненный цикл у цикад такой длинный? Имеет ли какое-нибудь значение для жизненного цикла то, что продолжительность его выражается простым числом лет? Другой вид — Magicicada tredecim — роится через каждые 13 лет. Это наводит на мысль, что продолжительность жизненного цикла, выражающаяся простым числом лет, дает виду определенные эволюционные преимущества.
   Согласно одной теории, у цикады имеется паразит, также обладающий длинным жизненным циклом. Цикада, естественно, стремится избавиться от паразита. Если паразит обладает жизненным циклом продолжительностью, скажем 2 года, то цикада стремится избежать жизненного цикла, продолжительность которого в годах делится на 2, так как в противном случае цикада, появляясь из-под земли, и паразит регулярно встречались бы. Аналогично, если бы паразит обладал жизненным циклом продолжительностью 3 года, то цикада стремилась бы избегать жизненных циклов, продолжительность которых в годах выражалась числом, кратным 3. Следовательно, чтобы избежать совпадений с паразитом, лучшей стратегией для цикады было бы иметь жизненный цикл, длящийся простое число лет. Так как ни одно целое число (кроме 1 и 17) не делит число 17, Magicicada septendecim очень редко встречается со своим паразитом. Если продолжительность жизненного цикла паразита составляет 2 года, то цикада встречается с ним только раз в 34 года, а если продолжительность жизненного цикла паразита больше, например, составляет 16 лет, то его встреча с цикадой происходит лишь раз в 272 (= 16·17) года.
   «Реванш» для паразита возможен только в двух случаях: при его годичном жизненном цикле и при жизненном цикле продолжительностью 17 лет. Маловероятно, однако, что паразит выживет на протяжении 17 своих поколений подряд, так как первым 16 поколениям будет не на ком паразитировать. С другой стороны, чтобы достичь 17-летней продолжительности жизненного цикла, поколениям паразита необходимо пройти в своей эволюции 16-летний жизненный цикл. Это означало бы, что на каком-то этапе эволюции паразит и цикада не встречались бы на протяжении 272 лет! И в том, и в другом случае большой жизненный цикл продолжительностью в простое число лет способствуют выживанию цикады.
   Возможно, именно этим и объясняется, что пресловутый паразит так никогда и не был найден! В гонке на выживание с цикадой паразит, по-видимому, постоянно увеличивал продолжительность своего жизненного цикла до тех пор, пока не наткнулся на 16-летний барьер. После этого паразит на протяжении 272 лет не мог встретиться со своей жертвой и за это время вымер. В результате появилась цикада с жизненным циклом длиной 17 лет. Необходимость в более продолжительном жизненном цикле для цикады отпала, поскольку паразит более не существовал.

Месье Леблан

   К началу XIX века за Великой теоремой Ферма установилась устойчивая репутация самой трудной проблемы в теории чисел. После прорыва, осуществленного Эйлером, не было ни малейшего продвижения, пока сенсационное заявление одной юной француженки не вдохнуло новые надежды. Поиски доказательства Великой теоремы Ферма возобновились с новой силой. Софи Жермен выпало жить в эпоху шовинизма и предрассудков, и для того, чтобы иметь возможность заниматься математикой, ей пришлось принять псевдоним, работать в ужасных условиях и творить в интеллектуальной изоляции.
   На протяжении веков занятия математикой считались неженским делом, но, несмотря на дискриминацию, нашлось несколько женщин-математиков, выступивших против сложившихся обычаев и порядков и запечатлевших свои имена в анналах математики. Первой женщиной, оставившей след в истории математики, была Теано (VI век до н. э.), учившаяся у Пифагора, ставшая одним из его самых близких последователей и вышедшая за него замуж. Пифагора иногда называют «философом-феминистом» за то, что он всячески поощрял женщин-ученых. Теано была лишь одной из двадцати восьми сестер в пифагорейском братстве.
   В более поздние времена сторонники и последователи Сократа и Платона продолжали приглашать женщин в свои школы, но только в IV веке н. э. женщина-математик основала свою собственную влиятельную школу. Ипатия, дочь профессора математики Александрийской академии, прославилась на весь известный тогда мир своими диспутами и умением решать различные задачи. Математики, на протяжении долгих месяцев ломавшие головы над решением какой-нибудь задачи, обращались к Ипатии с просьбой о помощи, и та редко разочаровывала своих поклонников. Математика и процесс логического доказательства целиком захватили ее, и на вопрос, почему она не выходит замуж, Ипатия отвечала, что обручена с Истиной. Именно безграничная вера Ипатии в человеческий разум стала причиной ее смерти, когда Кирилл, патриарх Александрийский, начал преследовать философов, естествоиспытателей и математиков, которых он называл еретиками. Историк Эдвард Гиббон оставил яркое описание событий, происшедших после того, как Кирилл организовал заговор против Ипатии и натравил на нее толпу.
   «В тот роковой день, в священный сезон Лента, Ипатию вытащили из колесницы, на которой она ехала, раздели донага, поволокли к церкви и бесчеловечно разрубили ее на части руками Петра Чтеца и толпы диких и безжалостных фанатиков; ее плоть содрали с костей острыми устричными раковинами, а ее трепещущие конечности были сожжены на костре».
   После смерти Ипатии в математике наступил период застоя. Вторая женщина, заставившая говорить о себе как о математике, появилась только после Возрождения. Мария Аньези родилась в Милане в 1718 году. Как и Ипатия, она была дочерью математика. Аньези была признана одним из лучших математиков Европы. Особую известность ей принесли труды, посвященные касательным к кривым. В Италии кривые назывались «versiera» (от латинского «поворачивать»), но это же слово считалось сокращением слова «avversiera» — «жена дьявола». Кривые, исследованные Аньези (versiera Agnesi) были неправильно переведены на английский язык как «ведьма Аньези», и со временем Марию Аньези стали величать так же.
   Хотя математики по всей Европе признавали математический талант Аньези, многие академические учреждения, в частности Французская Академия, отказались предоставить ей пост, позволяющий заниматься исследованиями. Политика недопущения женщин на академические посты продолжалась и в XX веке, когда Эмми Нётер, о которой Эйнштейн отзывался как о «наиболее значительном творческом математическом гении из числа появившихся с тех пор, как началось высшее образование для женщин», отказали в предоставлении права чтения лекций в Гёттингенском университете. Большинство профессоров рассуждало так: «Как можно допустить, чтобы женщина стала приват-доцентом? Ведь если она станет приват-доцентом, то со временем может стать профессором и членом университетского сената… Что подумают наши солдаты, когда вернутся в университет и узнают, что должны будут учиться у ног женщины?» Давид Гильберт, друг и наставник Эмми Нётер, возразил на это так: «Господа! Я не понимаю, почему пол кандидата препятствует принятию ее в качестве приват-доцента. В конце концов университетский сенат — не мужские бани».
   Позднее у Эдмунда Ландау, коллеги Нётер, спросили, действительно ли Нётер великая женщина-математик, на что он ответил: «Я могу поклясться, что она великий математик, но в том, что она женщина, я поклясться не могу».
   Помимо того, что Эмми Нётер так же, как и женщины-математики прошлых веков, страдала от дискриминации, она имела с ними еще много общего: например, была дочерью математика. Вообще, многие математики происходили из математических семейств, и это породило лишенные всякого основания слухи об особом математическом гене, но среди женщин-математиков процент выходцев из математических семей особенно велик. Объяснение заключается, по-видимому, в том, что даже самые одаренные женщины не решились бы изучать математику или не получили бы поддержку своим намерениям, если бы их семья не была бы причастна науке. Подобно Ипатии, Аньези и большинству других женщин-математиков, Нётер не была замужем. Столь массовое безбрачие среди женщин-математиков объясняется тем, что выбор женщиной профессии математика встречал неодобрительное отношение со стороны общества, и лишь немногие мужчины осмеливались предложить руку и сердце женщинам с такой «сомнительной» репутацией. Исключением из общего правила стала великая женщина-математик из России Софья Васильевна Ковалевская. Она вступила в фиктивный брак с палеонтологом Владимиром Онуфриевичем Ковалевским. Для обоих брак был спасением, позволив им вырваться из-под опеки семей и сосредоточиться на научных исследованиях. Что же касается Ковалевской, то путешествовать в одиночку ей было гораздо удобнее под видом респектабельной замужней дамы.
   Из всех европейских стран наиболее непримиримую позицию по отношению к образованным женщинам занимала Франция, провозгласившая, что математика — неподходящее занятие для женщин и лежит за пределами их умственных способностей! И хотя салоны Парижа доминировали в математическом мире XVIII и XIX веков, только одной женщине удалось вырваться из пут французского общественного мнения и утвердить за собой репутацию крупного специалиста по теории чисел. Софи Жермен революционизировала поиски Доказательства Великой теоремы Ферма и внесла вклад, значительно превосходящий все, что сделали ее предшественники-мужчины.

   Софи Жермен родилась 1 апреля 1776 года в семье торговца Амбруаза Франсуа Жермен. Помимо увлечения математикой на ее жизнь глубокое влияние оказали бури и невзгоды Великой французской революции. В тот самый год, когда она открыла для себя свою любовь к числам, народ взял штурмом Бастилию, а на то время, когда она занималась изучением математического анализа, пала тень царства террора. Хотя отец Софи был вполне состоятельным человеком, Жермены не принадлежали к аристократии.

   Девушек, стоявших на той же ступени социальной лестницы, что и Софи, не особенно поощряли к изучению математики, тем не менее предполагалось, что они должны обладать достаточным знанием этого предмета, чтобы иметь возможность поддержать светский разговор, если он коснется какого-нибудь математического вопроса. Для этого была написана серия учебников, призванных ознакомить их с последними достижениями математики и естествознания. Так, перу Франческо Альгаротти принадлежал учебник «Философия сэра Исаака Ньютона, объясненная для пользы дам». Поскольку Альгаротти был убежден в том, что дам могут интересовать только романы, открытия Ньютона он попытался изложить в виде диалога маркизы, флиртующей с собеседником. Например, собеседник излагает маркизе закон всемирного тяготения, в ответ на что маркиза высказывает собственную интерпретацию этого фундаментального закона физики: «Я не могу отделаться от мысли, что… то же соотношение, обратная пропорциональность квадрату расстояния… наблюдается и в любви. Например, если влюбленные не видятся восемь дней, то любовь становится в шестьдесят четыре раза слабее, чем в день разлуки».
   Неудивительно, что интерес Софи Жермен к науке возник не под влиянием книг такого галантного жанра. Событие, изменившее всю ее жизнь, произошло в тот день, когда она, перебирая книги в отцовской библиотеке, случайно наткнулась на «Историю математики» Жана Этьена Монтуклы. Ее внимание привлекла глава, в которой Монтукла рассказывает о жизни Архимеда. Перечень открытий Архимеда в изложении Монтуклы, несомненно, вызывал интерес, но особенно воображение Софи захватил эпизод, в котором речь шла о смерти Архимеда.
   По преданию, Архимед провел всю свою жизнь в Сиракузах, где в сравнительно спокойной обстановке занимался математикой. Но когда ему было далеко за семьдесят, покой был нарушен вторжением римской армии. Согласно легенде, именно во время этого вторжения Архимед, глубоко погруженный в созерцание геометрической фигуры, начертанной на песке, не расслышал обращенный к нему вопрос римского солдата, и, пронзенный копьем, погиб. [8]
   Жермен рассудила, что если геометрическая задача может настолько захватить кого-то, что это привело к его смерти, то математика должна быть самым удивительным предметом в мире. Софи немедленно принялась за самостоятельное изучение основ теории чисел и математического анализа, и вскоре засиживалась допоздна, читая труды Эйлера и Ньютона. Внезапный интерес к столь «неженскому» предмету, как математика, встревожил родителей Софи. Друг семьи граф Гульельмо Либри-Каруччи далла Соммайя рассказывал, что отец Софи отобрал у дочери свечи, одежду и унес жаровню, обогревавшую ее комнату, чтобы помешать ей заниматься математикой. Несколькими годами позднее в Британии отец молодой девушки-математика Мэри Сомервилл также отнял у дочери свечи, заявив: «Этому нужно положить конец, если мы не хотим увидеть Мэри в смирительной рубашке».
   Но в ответ Софи Жермен завела тайное хранилище для свечей и спасалась от холода, кутаясь в простыни. По сообщению Либри-Каруччи, ночи зимой бывали такими холодными, что чернила замерзали в чернильнице, но Софи продолжала заниматься математикой, невзирая ни на что. Некоторые из знавших ее в юности утверждали, что она была застенчивой и неуклюжей, но решимости ей было не занимать, и в конце концов родители уступили и дали Софи благословение на занятия математикой. Жермен никогда не была замужем, и на протяжении всей ее карьеры исследования Софи финансировал отец. Долгие годы Жермен проводила свои исследования в полном одиночестве, потому что в семье не было математиков, которые могли бы познакомить ее с новейшими идеями, а учителя Софи отказывались признать ее всерьез.
   В 1794 году в Париже открылась Политехническая школа (École Polytechnique), основанная как высшее учебное заведение для подготовки математиков и естествоиспытателей для нужд нации. Эта школа могла бы стать идеальным местом для Жермен, где она могла бы развить свое математическое дарование, если бы не одно непреодолимое препятствие: в École Polytechnique принимали только мужчин. Природная застенчивость не позволяла Софи открыто выступить против школьных властей, и она решила учиться там тайно, под видом бывшего студента этого учебного заведения месье Антуана Огюста Леблана. Руководству школы не было известно, что настоящий месье Леблан уже покинул Париж, и оно продолжало печатать для него конспекты лекций и задачи. Жермен стала получать материалы, предназначавшиеся для Леблана, и каждую неделю предоставляла решения задач под свои новым псевдонимом. Все шло по плану до тех пор, пока несколько месяцев спустя смотритель курса Жозеф Луи Лагранж не обратил внимание на блестящие решения, которые стал представлять месье Леблан. Решения месье Леблана не только отличались необычайным остроумием, но и свидетельствовали о глубокой перемене, происшедшей в студенте, ранее известном своими слабыми познаниями в математике. Лагранж, принадлежавший к числу наиболее выдающихся математиков Европы, потребовал встречи с преобразившимся студентом, и Софи Жермен была вынуждена открыть, кто она на самом деле. Лагранж был удивлен и приятно поражен, увидев перед собой девушку, и стал ее наставником и другом. Наконец-то у Софи Жермен появился учитель, который мог поощрить и вдохновить ее, кому она могла открыто продемонстрировать свои знания и с кем могла поделиться замыслами.
   Жермен обретала все большую уверенность в своих силах и перешла от решения задач в учебных заданиях к изучению еще неисследованных областей математики. Но самое важное для нашего повествования заключается в том, что Софи заинтересовалась теорией чисел и, естественно, не могла не услышать о Великой теореме Ферма. Несколько лет Жермен проработала над ее доказательством и, наконец, достигла такого этапа, когда ей показалось, что она смогла продвинуться к желанной цели. Возникла насущная необходимость обсудить полученные результаты с коллегой, специалистом по теории чисел, и Жермен решилась обратиться к самому большому специалисту по теории чисел — немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу.
   По всеобщему признанию Гаусс — самый блестящий из когда-либо живших на свете математиков. Э.Т. Белл называл Ферма «князем любителей», а Гаусса — «князем математиков». Впервые Жермен по достоинству оценила талант Гаусса, встретив его шедевр «Арифметические исследования» — наиболее важный и необычайно широкий по охвату проблем трактат из написанных со времен «Начал» Евклида. Труды Гаусса оказали влияние на все разделы математики, но, как ни странно, он никогда ничего не опубликовал о Великой теореме Ферма. В одном письме Гаусс высказал даже пренебрежительное отношение к проблеме Ферма. Друг Гаусса, немецкий астроном Генрих Ольберс, написал ему письмо, настоятельно советуя принять участие в конкурсе на соискание премии Парижской Академии за решение проблемы Ферма: «Мне кажется, дорогой Гаусс, что Вам следовало бы озаботиться этим». Двумя неделями позже Гаусс ответил: «Весьма обязан за вести относительно Парижской премии. Но признаюсь, что Великая теорема Ферма как некое отдельное предложение представляет для меня весьма малый интерес, поскольку я мог бы привести множество таких предложений, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть». Гаусс имел право придерживаться своего мнения, однако Ферма ясно заявил, что доказательство существовало, и даже предпринятые впоследствии неудачные попытки найти доказательство породили новые и оригинальные методы, такие, как доказательство методом бесконечного спуска и использование мнимых чисел. Возможно, Гаусс также пытался найти доказательство и потерпел неудачу, а его ответ Ольберсу — всего лишь вариант заявления «зелен виноград». Тем не менее, успех, достигнутый Жермен, о котором Гаусс узнал из ее писем, произвел на него столь сильное впечатление, что Гаусс на время забыл о своем пренебрежительном отношении к Великой теореме Ферма.
   Семьюдесятью пятью годами ранее Эйлер опубликовал найденное им доказательство для n=3, и с тех пор все математики тщетно пытались доказать Великую теорему Ферма в других частных случаях. Но Жермен избрала новую стратегию и в письмах к Гауссу изложила так называемый общий подход к проблеме Ферма. Иначе говоря, ее непосредственной целью было не доказательство отдельного случая — Жермен вознамерилась сказать нечто о многих частных случаях сразу. В письмах к Гауссу она изложила общий ход вычислений, сосредоточенных на простых числах p частного типа: таких, что числа 2p+1 — также простые. В составленный Жермен перечень таких простых чисел входит число 5, поскольку 11 = 2·5 + 1 — также простое, но число 13 в него не входит, так как 27 = 2·13 + 1 не простое.
   В частности, Жермен с помощью изящного рассуждения, доказала, что если уравнение xn + yn = zn имеет решения для таких простых n, что 2n+1 также простое число, то либо x, y, либо z делится n.
   В 1825 году метод Софи Жермен был успешно применен Густавом Леженом Дирихле и Адриеном Мари Лежандром. Этих ученых разделяло целое поколение. Лежандр был семидесятилетним старцем, пережившим политические бури Великой французской революции. За отказ поддержать правительственного кандидата в Национальный Институт он был лишен пенсии, и к тому времени, когда он внес свою лепту в доказательство Великой теоремы Ферма, Лежандр испытывал сильнейшую нужду. Дирихле же был молодым и исполненным честолюбивых замыслов специалистом по теории чисел, которому едва исполнилось двадцать лет. И Лежандру, и Дирихле независимо друг от друга удалось доказать Великую теорему Ферма при n=5, причем оба основывали свои доказательства на рассуждениях Софи Жермен и именно ей были обязаны своим успехом.
   Еще один прорыв осуществил четырнадцатью годами спустя француз Габриель Ламе. Он внес некоторые остроумные усовершенствования в метод Жермен и доказал Великую теорему Ферма при простом значении n=7. Жермен показала специалистам по теории чисел, как исключить целую группу случаев с простыми значениями n, и теперь объединенными усилиями ее коллеги продолжали доказывать теорему для одного простого значения n за другим. Работа Жермен над Великой теоремой Ферма стала ее величайшим достижением в математике, хотя и не сразу оцененным по достоинству. Когда Жермен впервые написала Гауссу, ей не было еще и тридцати лет, и хотя ее имя приобрело известность в Париже, она опасалась, что великий математик не воспримет письмо от женщины всерьез. Чтобы защитить себя, Жермен снова укрылась за псевдонимом, подписав письмо именем месье Леблана.
   Софи не скрывала своего благоговения перед Гауссом. Вот фраза из ее письма: «К сожалению, глубина моего интеллекта уступает ненасытности моего аппетита, и я сознаю все безрассудство своего поступка, когда беру на себя смелость побеспокоить гениального человека, не имея ни малейшего права на его внимание, кроме восхищения, которое неизбежно охватывает всех его читателей». Гаусс, не подозревая о том, кто в действительности его корреспондент, попытался успокоить «месье Леблана». В ответном письме Гаусса говорилось: «Я восхищен тем, что арифметика нашла в Вас столь способного друга».
   Результаты, полученные Жермен, могли бы навсегда остаться ошибочно приписанными месье Леблану, если бы не император Наполеон. В 1806 году Наполеон захватил Пруссию, и французская армия штурмовала одну германскую столицу за другой. Жермен стала опасаться, как бы судьбу Архимеда не разделил ее второй великий герой — Гаусс. Софи написала своему другу — генералу Жозефу Мари Пернети, командовавшему наступавшими войсками. В письме она просила генерала обеспечить Гауссу безопасность. Генерал предпринял соответствующие меры, позаботился о немецком математике и объяснил ему, что тот обязан своей жизнью мадемуазель Жермен. Гаусс выразил свою признательность, но был удивлен, так как никогда не слышал о Софи Жермен.
   Игра была проиграна. В следующем же письме Гауссу Жермен неохотно открыла свое подлинное имя. Ничуть не рассердившись за обман, Гаусс с восторгом ответил ей: «Как описать Вам тот восторг и то изумление, которые охватили меня при виде того, как мой высокочтимый корреспондент месье Леблан претерпел метаморфозу, превратившись в замечательную особу, подающую столь блестящий пример, что мне трудно в это поверить. Вкус к абстрактным наукам вообще, и прежде всего ко всем таинствам чисел, встречается крайне редко, и это не удивительно: прельстительные чары этой тонкой науки открываются только тем, кто имеет смелость глубоко проникнуть в нее. Но когда представительница того пола, который в соответствии с нашими обычаями и предрассудками, должен встретиться с бесконечно большими трудностями, чем мужчины, при ознакомлении с тернистыми исследованиями, умудряется успешно преодолеть все эти препятствия и проникнуть в их самые темные части, то, несомненно, она обладает благородным мужеством, совершенно необыкновенными талантами и высшей одаренностью. Ничто не смогло бы убедить меня столь лестным и несомненным образом в том, что привлекательные стороны этой науки, обогатившей мою жизнь таким количеством радостей, не являются плодом фантазии, как та преданность, которой Вы почтили ее».
   Переписка с Карлом Гауссом, ставшая для Софи Жермен источником вдохновения в работе, внезапно оборвалась в 1808 году. Гаусс был назначен профессором астрономии в Гёттингенском университете, его интересы переместились от теории чисел к более прикладной математике, и он перестал отвечать на письма Жермен. Лишившись поддержки такого наставника, Жермен потеряла уверенность в своих силах и через год оставила занятия чистой математикой. Хотя ей не удалось продвинуться дальше в доказательстве Великой теоремы Ферма, она занялась весьма плодотворной деятельностью в области физики — научной дисциплины, в которой она снова могла бы занять выдающееся положение, если бы не предрассудки истеблишмента. Наивысшим достижением Софи Жермен в физике стал «Мемуар о колебаниях упругих пластин» — блестящая, полная новых идей работа, заложившая основы современной теории упругости. За эту работу и работы по Великой теореме Ферма она была удостоена медали Института Франции и стала первой женщиной, которая посещала лекции в Академии Наук, не будучи женой члена Академии. К концу жизни Софи Жермен восстановила отношения с Карлом Гауссом, убедившим Гёттингенский университет присудить ей почетную ученую степень. К сожалению, Софи Жермен умерла от рака груди прежде, чем университет смог оказать ей заслуженную почесть.
   «Учитывая все сказанное, можно сказать, что Софи Жермен, по-видимому, обладала наиболее глубоким умом среди женщин, которых когда-либо производила Франция. Может показаться странным, но когда пришел чиновник, чтобы выдать свидетельство о смерти этой знаменитой коллеги и сотрудницы самых знаменитых членов Французской Академии Наук, в графе «род занятий» он обозначил ее как «одинокая женщина без профессии», а не «математик». Но это еще не все. При строительстве Эйфелевой башни инженеры уделяли особое внимание упругости используемых материалов, и на этом гигантском сооружении были начертаны имена семидесяти двух ученых, внесших особенно большой вклад в развитие теории упругости. Но тщетно мы стали бы искать в этом списке имя гениальной дочери Франции, чьи исследования во многом способствовали становлению теории упругости металлов — Софи Жермен. Была ли она исключена из этого списка по той же причине, по которой Мария Аньези не была удостоена членства в Французской Академии, — потому, что была женщиной? По-видимому, дело обстояло именно так. Но если это действительно так, то тем больший позор для тех, кто ответствен за такую вопиющую неблагодарность по отношению к человеку, имевшему столь большие заслуги перед наукой, — человеку, обеспечившему себе достойное место в зале славы». (А.Ж. Мозанс, 1913.)

Запечатанные конверты

   После прогресса, достигнутого благодаря работам Софи Жермен, Французская Академия Наук установила серию премий, включая золотую медаль и 3000 франков, тому математику, который сумеет наконец разгадать тайну Великой теоремы Ферма. Того, кто сумеет доказать теорему, ждала не только заслуженная слава, но и значительное материальное вознаграждение. Салоны Парижа полнились слухами относительно того, какую стратегию избрал тот или иной претендент и как скоро объявят результаты конкурса. Наконец 1 марта 1847 года, Академия собралась на самое драматическое из своих заседаний.
   В протоколах заседания подробно описывается, как Габриель Ламе, семью годами раньше доказавший Великую теорему Ферма для n=7, взошел на трибуну перед самыми знаменитыми математиками XIX века и заявил, что находится на пороге доказательства Великой теоремы Ферма для общего случая. Ламе признал, что его доказательство еще не полно, но он обрисовал в общих чертах свой метод и не без удовольствия сообщил, что через несколько недель опубликует полное доказательство в журнале, издаваемом Академией.

   Аудитория замерла от восторга, но едва Ламе покинул трибуну как слова попросил еще один из лучших парижских математиков Огюстен Луи Коши. Обращаясь к членам Академии, Коши сообщил, что уже давно работает над доказательством Великой теоремы Ферма, исходя примерно из тех же идей, что и Ламе, и также вскоре намеревается опубликовать полное доказательство.
   И Коши, и Ламе сознавали, что решающее значение имеет время. Тому, кто сумеет первым представить полное доказательство, достанется самая престижная и ценная награда в математике. Хотя ни Ламе, ни Коши не располагали полным доказательством, оба соперника страстно желали подкрепить свои заявления, и три недели спустя оба представили в Академию запечатанные конверты. В то время так было принято. Это позволяло математикам отстаивать свои приоритет, не раскрывая детали своей работы. Если впоследствии возникал спор относительности оригинальности идей, то в запечатанном конверте хранились убедительные подтверждения, необходимые для установления приоритета.
   В апреле, когда Коши и Ламе наконец опубликовали некоторые детали своих доказательств в Трудах Академии, напряжение усилилось. Все математическое сообщество отчаянно жаждало ознакомиться с полным доказательством, причем многие математики втайне надеялись, что состязание выиграет Ламе, а не Коши. Судя по всем отзывам, Коши был самодовольным существом и религиозным фанатиком. К тому же он был весьма непопулярен среди своих коллег. В Академии его терпели только за блестящий ум.

   Наконец, 24 мая было сделано заявление, которое положило конец всем домыслам. К Академии обратился не Коши и не Ламе, а Жозеф Лиувилль. Он поверг достопочтенную аудиторию в шок, зачитав письмо от немецкого математика Эрнста Куммера. Куммер был признанным специалистом по теории чисел, но горячий патриотизм, питаемый искренней ненавистью к Наполеону, на протяжении многих лет не позволял ему отдаться своему истинному призванию. Когда Куммер был еще ребенком, французская армия вторглась в его родной город Сорау, принеся с собой эпидемию тифа. Отец Куммера был городским врачом и через несколько недель болезнь унесла его. Потрясенный происшедшим, Куммер поклялся сделать все, что в его силах, чтобы избавить родину от нового вражеского вторжения, — и по окончании университета направил свой интеллект на решение проблемы построения траекторий пушечных ядер. Позднее он преподавал в Берлинском военном училище законы баллистики.

   Параллельно с военной карьерой Куммер активно занимался исследованиями в области чистой математики и был полностью осведомлен о происходящем в Французской Академии. Куммер внимательно прочитал публикации в Трудах Академии и проанализировал те немногие детали, которые рискнули раскрыть Коши и Ламе. Ему стало ясно, что оба француза движутся в сторону одного и того же логического тупика, — и свои соображения он изложил в письме к Лиувиллю.

   По мнению Куммера, основная проблема заключалась в том, что доказательства Коши и Ламе опирались на использование свойства целых чисел, известного под названием единственности разложения на простые множители. Это свойство означает, что существует только одна возможная комбинация простых чисел, произведение которых дает данное целое число. Например, единственная комбинация простых чисел, произведение которых дает число 18, имеет вид
   18 = 2·3·3.
   Аналогично, числа 35, 180 и 106260 могут быть единственным образом разложены на простые числа, и их разложения имеют вид
   35 = 5·7, 180 = 2·2·3·3·5, 106260 = 2·2·3·5·7·11·23.
   Единственность факторизации была обнаружена в IV веке до н. э. Евклидом, который в книге IX своих «Начал» доказал, что это верно для всех натуральных чисел. Единственность разложения на простые множители для всех натуральных чисел — жизненно важный элемент доказательств многих различных теорем и ныне называется основной теоремой арифметики.
   На первый взгляд не должно быть никаких причин, по которым Коши и Ламе не могли бы использовать единственность разложения на множители в своих рассуждениях, как это делали сотни математиков до них. Однако, оба представленных Академии доказательства использовали мнимые числа. Куммер обратил внимание Лиувилля на то, что, хотя теорема о единственности разложения на множители выполняется для целых чисел, она не обязательно должна выполняться, если используются мнимые числа. По мнению Куммера, это была роковая ошибка.
   Например, если мы ограничимся целыми числами, то число 12 допускает единственное разложение 2·2·3. Но стоит нам допустить в доказательстве мнимые числа, как число 12 можно разложить на множители и так:
   12 = (1 + √–11)·(1 + √–11).
   Здесь 1 + √–11 — комплексное число, представляющее собой комбинацию действительного и мнимого числа. Хотя умножение комплексных чисел производится по более сложным правилам, чем умножение действительных чисел, существование комплексных чисел порождает дополнительные способы разложения числа 12 на множители. Приведем еще один способ разложения числа 12:
   12 = (2 + √–8)·(2 + √–8).
   Следовательно, при использовании в доказательстве мнимых чисел речь идет не о единственности разложения, а о выборе одного из вариантов разложения на множители.
   Таким образом, утрата единственности разложения на множители нанесла тяжелый урон доказательствам Коши и Ламе, но не уничтожила их полностью. Предполагалось, что доказательства должны продемонстрировать несуществование решений в целых числах у уравнения xn + yn = zn, где n — любое целое число, бóльшее 2. Как мы уже упоминали в этой главе, в действительности Великую теорему Ферма достаточно доказать только для простых значений n. Куммер показал, что, используя дополнительные ухищрения, можно восстановить единственность разложения на множители при некоторых значениях n. Например, проблему единственности разложения можно обойти для всех простых чисел, не превышающих n = 31 (включая само значение n = 31). Но при n = 37 избавиться от трудностей не так просто. Среди других, прочих чисел, меньших 100, особенно трудно доказать Великую теорему Ферма при n = 59 и n = 67. Это так называемые нерегулярные простые числа, разбросанные среди остальных чисел, стали камнем преткновения на пути к полному доказательству.
   Куммер отметил, что не существует известных математических методов, которые позволили бы единым махом рассмотреть все нерегулярные простые числа. Но он полагал, что, тщательно подгоняя существующие методы к каждому нерегулярному простому числу в отдельности, удастся справиться с ними «по одиночке». Разработка таких выполненных по индивидуальному заказу методов было бы делом медленным и чрезвычайно трудным, и, что еще хуже, множество нерегулярных простых чисел было бесконечным. Рассмотрение нерегулярных простых чисел по одному силами всего мирового математического сообщества растянулось бы до конца веков.
   Письмо Куммера произвело на Ламе ошеломляющее действие. Упустить из виду предположение о единственности факторизации! В лучшем случае такое можно было бы назвать чрезмерным оптимизмом, в худшем — непростительной глупостью. Ламе сознавал, что если бы он не стремился держать подробности своей работы в тайне, то смог бы обнаружить пробел гораздо раньше. В письме к своему коллеге Дирихле в Берлин он признавался: «Если бы только Вы были в Париже, или я был в Берлине, все это никогда бы не произошло». Если Ламе испытывал чувство унижения, то Коши отказывался признать поражение. По его мнению, по сравнению с доказательством Ламе, его собственное доказательство в меньшей степени опиралось на единственность разложения на множители, и до тех пор, пока проведенный Куммером анализ не будет полностью проверен, существует возможность, что в рассуждения немецкого математика где-то вкралась ошибка. В течение нескольких недель Коши продолжал публиковать статью за статьей о доказательстве Великой теоремы Ферма, но к исходу лета замолчал и он.
   Куммер показал, что полное доказательство Великой теоремы Ферма лежало за пределами возможностей существовавших математических подходов. Это был блестящий образец логики и в то же время чудовищный удар по целому поколению математиков, питавших надежду, что именно им удастся решить самую трудную в мире математическую проблему.
   Резюме подвел Коши, который в 1857 году писал в заключительном отчете, представленном Академии, по поводу премии, назначенной за доказательство Великой теоремы Ферма: «Отчет о конкурсе на премию по математическим наукам. Конкурс был назначен на 1853 год и затем продлен до 1856 года. Секретарю были представлены одиннадцать мемуаров. Ни в одном из них поставленный вопрос решен не был. Таким образом, несмотря на многократную постановку, вопрос остается там, где его оставил г-н Куммер. Однако математические науки вознаграждены трудами, предпринятыми геометрами в их стремлении решить вопрос, особенно г-на Куммера, и члены Комиссии считают, что Академия приняла бы достаточное и полезное решение, если бы, изъяв вопрос из конкурса, присудила бы медаль г-ну Куммеру за его прекрасные исследования по комплексным числам, состоящим из корней из единицы и целых чисел».
* * *
   Более двух столетий любая попытка открыть заново доказательство Великой теоремы Ферма заканчивалась неудачей. В юношеские годы Эндрю Уайлс изучил труды Эйлера, Жермен, Коши, Ламе и, наконец, Куммера. Уайлс надеялся, что ему удастся извлечь уроки из ошибок, допущенных великими предшественниками, но к тому времени, когда он стал старшекурсником Оксфордского университета, на его пути встала та же каменная стена, перед которой остановился Куммер.
   Некоторые из современников Уайлса начали подозревать, что проблема Ферма может оказаться неразрешимой. Не исключено, что Ферма заблуждался, и поэтому причина, по которой никому не удалось восстановить доказательство Ферма, заключается просто в том, что такого доказательства вообще не существовало. Уайлса вдохновляло то, что в прошлом, после упорных усилий на протяжении столетий, для некоторых значений n доказательство Великой теоремы Ферма все же было обнаружено. И в некоторых из этих случаев удачные идеи, позволившие решить проблему, не опирались на новые достижения математики; наоборот, это были доказательства, которые могли быть давно быть обнаружены.
   Одним из примеров задачи, упорно не поддававшейся решению на протяжении десятилетий, может служить гипотеза о точках. В ней речь идет о нескольких точках, каждая из которых соединена с другими точками прямыми, как показано на рис. 13. Гипотеза утверждает, что невозможно нарисовать диаграмму такого рода так, чтобы на каждой прямой лежали по крайней мере три точки (диаграмму, на которой все точки лежат на одной и той же прямой, мы исключаем из рассмотрения). Экспериментируя с несколькими диаграммами, мы можем убедиться в том, что гипотеза о точках, по-видимому, верна. На рис. 13а пять точек связаны шестью прямыми. На четырех из этих линий не наберется по три точки, и поэтому ясно, что такое расположение точек не удовлетворяет требованию задачи, согласно которому каждой прямой принадлежит по три точки.
а)
б)
   Рис. 13. На этих диаграммах каждая точка связана с каждой из остальных точек прямыми. Можно ли построить такую диаграмму, на которой каждая прямая проходит по крайней мере через три точки?

   Добавив одну точку и одну проходящую через нее прямую, мы снизили число прямых, на которых не лежат по три точки, до трех. Но дальнейшее приведение диаграммы к условиям гипотезы (такая перестройка диаграммы, в результате которой на каждой прямой оказалось бы по три точки), по-видимому, невозможна. Разумеется, это не доказывает, что такой диаграммы не существует.
   Поколения математиков пытались найти доказательство, казалось бы, нехитрой гипотезы о точках — и потерпели неудачу. Эта гипотеза вызывает еще большее раздражение потому, что когда решение в конце концов было найдено, выяснилось, что для него необходимы лишь минимальные познания в математике и один неординарный поворот в рассуждениях. Ход доказательства намечен в Приложении 6.
   Вполне возможно, что все методы, необходимые для доказательства Великой теоремы Ферма, уже имелись в распоряжении математиков, и что единственным недостающим ингредиентом был какой-то остроумный ход. Уайлс не собирался сдаваться: детская мечта о доказательстве Великой теоремы Ферма превратилась в глубокое и серьезное увлечение. Ознакомившись со всем, что можно было узнать о математике XIX века, Уайлс решил взять на вооружение методы XX века.

Глава 4. Уход в абстракцию

   Доказательство — это идол, которому математики приносят себя в жертву.
Сэр Артур Эддингтон
   После работ Эрнста Куммера надежды найти доказательство ослабли, как никогда прежде. Кроме того, в математике начали развиваться различные новые области. Возник риск, что новое поколение математиков останется в неведении относительно неразрешимой проблемы. К началу XX века теорема Ферма все еще занимала особое место в сердцах специалистов по теории чисел, но они относились к ней так же, как химики относятся к алхимии. И алхимия, и Великая теорема Ферма в глазах наших современников выглядят романтическими мечтами прошлого.
   В 1908 году Пауль Вольфскель, немецкий промышленник из Дармштадта, вдохнул в старую проблему новую жизнь. Семья Вольфскелей славилась своим богатством и покровительством искусствам и наукам, и Пауль не был исключением. В университете он изучал математику и хотя свою жизнь Пауль посвятил строительству империи семейного бизнеса, все же он поддерживал контакт с профессиональными математиками и продолжал на любительском уровне заниматься теорией чисел. В частности, Вольфскель не отказался от мысли найти доказательство Великой теоремы Ферма.

   Вольфскель отнюдь не был одаренным математиком, и ему не было суждено внести заметный вклад в поиски доказательства Великой теоремы Ферма. Но цепочка неординарных событий привела к тому, что его имя оказалось навсегда связанным с теоремой Ферма и вдохновило тысячи людей заняться поиском ее доказательства.
   История начинается с того, что Вольфскель увлекся красивой женщиной, личность которой так никогда и не была установлена. К великому сожалению для Вольфскеля, загадочная женщина отвергла его. Он впал в такое глубокое отчаяние, что решил совершить самоубийство. Вольфскель был человеком страстным, но не импульсивным, и поэтому принялся во всех подробностях разрабатывать свою смерть. Он назначил дату своего самоубийства и решил выстрелить себе в голову с первым ударом часов ровно в полночь. За оставшиеся дни Вольфскель решил привести в порядок свои дела, которые шли великолепно, а в последний день составил завещание и написал письма близким друзьям и родственникам.
   Вольфскель трудился с таким усердием, что закончил все свои дела до полуночи и, чтобы как-нибудь заполнить оставшиеся часы, отправился в библиотеку, где стал просматривать математические журналы. Вскоре ему на глаза попалась классическая статья Куммера, в которой тот объяснял, почему потерпели неудачу Коши и Ламе. Работа Куммера принадлежала к числу самых значительных математических публикаций своего века и как нельзя лучше подходила для чтения математику, задумавшему совершить самоубийство. Вольфскель внимательно, строка за строкой, проследил за выкладками Куммера. Неожиданно Вольфскелю показалось, что он обнаружил пробел: автор сделал некое предположение и не обосновал этот шаг в своих рассуждениях. Вольфскель заинтересовался, действительно ли ему удалось обнаружить серьезный пробел, или сделанное Куммером предположение было обоснованным. Если был обнаружен пробел, то имелся шанс, что Великую теорему Ферма удастся доказать гораздо проще, чем полагали многие.
   Вольфскель сел за стол, тщательно проанализировал «ущербную» часть рассуждений Куммера и принялся набрасывать минидоказательство, которое должно было либо подкрепить работу Куммера, либо продемонстрировать ошибочность принятого им предположения и, как следствие, опровергнуть все его доводы. К рассвету Вольфскель закончил свои вычисления. Плохие (с точки зрения математики) новости состояли в том, что доказательство Куммера удалось исцелить, и Великая теорема Ферма по-прежнему осталась недоступной. Но были и хорошие новости: время, назначенное для самоубийства, миновало, а Вольфскель был так горд тем, что ему удалось обнаружить и восполнить пробел в работе великого Эрнеста Куммера, что его отчаяние и печаль развеялись сами собой. Математика вернула ему жажду жизни.
   Вольфскель разорвал свои прощальные письма и переписал свое завещание в свете случившегося в ту ночь. После его смерти, последовавшей в 1908 году, завещание было оглашено и повергло семью Вольфскеля в шок: выяснилось, что Пауль завещал значительную часть своего состояния в качестве премии тому, кто сумеет доказать Великую теорему Ферма. Премия в 100000 марок (более 1 000 000 фунтов стерлингов в современных масштабах) была той суммой, которую Вольфскель счел своим долгом уплатить в награду за головоломную проблему, спасшую ему жизнь. Деньги были положены на счет Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году официально объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля:
   «Во исполнение воли д-ра Пауля Вольфскеля, скончавшегося в Дармштадте, мы объявляем о создании фонда в сто тысяч марок, каковая сумма и будет вручена тому, кто первым докажет Великую теорему Ферма.
   Будут соблюдаться следующие правила.
   1. Королевское научное общество в Гёттингене обладает полной свободой воли в принятии решения, кому надлежит присудить премию. Рукописи, представленные с единственной целью принять участие в конкурсе на получение премии, приниматься не будут. К рассмотрению допускаются только математические мемуары, представленные в виде статей в периодических изданиях или имеющиеся в книжных лавках. Общество обращается к авторам подобных мемуаров с просьбой присылать по крайней мере пять печатных экземпляров.
   2. Работы, опубликованные на языках, непонятных ученым специалистам, выбранным для работы в жюри, не допускаются к участию в конкурсе. Авторам таких работ разрешается заменить их переводами, удостоверившись в точности последних.
   3. Общество не берет на себя ответственность за рассмотрение работ, не представленных на конкурс, а также за ошибки, которые могут произойти из-за того, что автор работы или часть работы не известны Обществу.
   4. Общество сохраняет за собой право принятия решения в случае, когда к решению проблемы имеет отношение несколько лиц или когда решение является результатом совместных усилий нескольких ученых, в том числе и по вопросам распределения премии.
   5. Премия присуждается Обществом не ранее, чем через два года после опубликования мемуара, удостоенного премией. Двухлетний промежуток времени необходим для того, чтобы немецкие и иностранные математики имели возможность высказать свое мнение по поводу опубликованного решения.
   6. После того, как состоится присуждение премии Обществом, секретарь от имени Общества уведомляет об этом лауреата. Решение публикуется всюду, где ранее было объявлено о конкурсе на соискание премии. Присуждение премии Обществом обсуждению не подлежит.
   7. Выплата премии лауреату производится в течение трех месяцев после присуждения Королевским казначеем Гёттингенского университета или, на ответственность получателя, в любом указанном им месте.
   8. Капитал может быть выплачен по желанию Общества под расписку либо наличными, либо переводом финансовых ценностей. Выплата премии считается произведенной при переводе этих финансовых ценностей даже в том случае, если к концу дня сумма премии не достигнет 100000 марок.
   9. Если премия не будет присуждена до 13 сентября 2007 года, то дальнейшие заявки не принимаются.
   Конкурс на соискание премии Вольфскеля считается открытым с сего дня на приведенных выше условиях.
   Гёттинген, 27 июня 1908 г.,
   Королевское общество наук»
   Следует заметить, что Комиссия выплатила бы 100000 марок первому математику, который доказал бы, что Великая теорема Ферма верна, но тот, кто доказал бы, что теорема Ферма не верна, не получил бы и пфеннига.
   О премии Вольфскеля было объявлено во всех математических журналах, и весть о конкурсе быстро распространилась по всей Европе. Несмотря на широкую рекламную кампанию и дополнительный побудительный стимул в виде огромной премии, Комиссии Вольфскеля не удалось вызвать особый интерес у серьезных математиков. Большинство профессиональных математиков считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадежным делом и решительно отказывались тратить свое драгоценное время на такое бесполезное занятие. Однако премии Вольфскеля удалось внедрить проблему Ферма в сознание совершенно новой аудитории — невидимой армии жаждущих знания молодых умов, жаждущих испытать себя на решении неприступной головоломки и не видящих ничего зазорного в том, что они приступают к поиску доказательства с явно недостаточным багажом.

Эра загадок и головоломок

   С античных времен и поныне математики пытались придать занимательность своим учебникам, излагая теоремы и доказательства в форме решений числовых задач-головоломок. Во второй половине XIX века такой игровой подход к математике проник на страницы общедоступной прессы, и числовые головоломки стали появляться в газетах и журналах наряду с кроссвордами и анаграммами. Растущая день ото дня аудитория жаждала математических головоломок, к числу которых непрофессионалы относили все — от тривиальнейших головоломок до глубоких математических проблем, включая Великую теорему Ферма.
   Возможно, самым плодовитым создателем головоломок был Генри Дьюдени, печатавшийся в десятках газет и журналов, в том числе таких, как «Strand», «Cassel's», «The Queen», «Tit-Bits», «The Weekly Dispatch» и «Blightly». Достопочтенный Чарльз Доджсон, лектор по математике колледжа Крайст Черч Оксфордского университета, более известный под литературным псевдонимом Льюис Кэрролл, был еще одним выдающимся автором головоломок викторианской эпохи. Несколько лет Доджсон потратил на то, чтобы собрать обширную коллекцию всяких математических курьезов и головоломок под общим названием «Curiosa Mathematica». Ему не удалось исполнить свой замысел до конца, но несколько книг все же было выпущено, в их числе «Полуночные задачи, придуманные в часы бессонницы».
   Но величайшим мастером головоломок был американский гений-самородок Сэм Лойд (1841–1911 гг.), который еще мальчишкой имел вполне приличный заработок, придумывая новые головоломки и усовершенствуя старые. В книге «Сэм Лойд и его головоломки: автобиографический обзор» он признает, что некоторые из его первых головоломок были созданы по заказу владельца цирка и фокусника П. Т. Барнума:
   «Много лет назад, когда "Цирк Барнума" был поистине "величайшем зрелищем на Земле", знаменитый шоумен заказал мне серию головоломок, предназначенных быть призами в рекламной кампании. Под названием "Вопросы сфинкса" они приобрели широкую известность из-за крупных призов, предлагавшихся тем, кто сумеет на них ответить».
   Интересно, что эта «автобиография» была написана в 1928 году, через 17 лет после смерти Лойда. Свое пристрастие к головоломкам Лойд передал своему сыну, также Сэму, который и был подлинным автором книги «Сэм Лойд и головоломки» и прекрасно знал, что всякий, кто ее купит, будет ошибочно полагать, что ее автор — более известный Сэм Лойд-старший.
   Самой знаменитой головоломкой Сэма Лойда стал викторианский эквивалент кубика Рубика — игра в 15, которую и поныне можно встретить в игрушечных лавках. Пятнадцать квадратных шашек с номерами от 1 до 15 находятся в квадратной коробочке размером 4×4. Цель игры состоит в том, чтобы, передвигая шашки в коробочке (но не вытаскивая их), расположить шашки по порядку номеров. В головоломке Лойда «15–14» начальное расположение шашек в коробочке было таким, как на рис. 14. Сэм Лойд предложил значительное вознаграждение тому, кто сумеет решить задачу-головоломку, передвинув шашки (проделав серию ходов) «14» и «15» так, чтобы они расположились в правильном порядке. Сын Лойда описал тот ажиотаж, который вызвала эта «механическая», а на самом деле математическая головоломка:
   «Премия в 1000 долларов тому, кто первым правильно решит эту головоломку, так и не была никем востребована, хотя тысячи людей утверждали, будто им удалось добиться желаемого. Люди теряли из-за головоломки «15–14» покой и сон. Рассказывали о владельцах лавок, которые забывали открывать свои заведения, о знаменитом священнике, который простоял всю зимнюю ночь под уличным фонарем, пытаясь припомнить, как ему удалось решить задачу. Самое удивительное во всех этих историях о головоломке «15–14» было то, что никто из «решивших» ее не мог вспомнить последовательность ходов, которая привела к победе. Рассказывали, будто лоцманы сажали суда на мели, а машинисты проскакивали без остановки железнодорожные станции. Известный балтиморский издатель рассказывал, как однажды он отправился на ленч и обнаружил, что сотрудники редакции и типографии самозабвенно играют в пятнадцать с полуночи, гоняя по тарелке кусочки пирога».

    Рис. 14. Карикатура с изображением мании, порожденной «Игрой в 15» Сэма Лойда (головоломки, в которой все шашки, кроме двух последних, расположены по порядку)

   Лойд был абсолютно уверен в том, что ему не придется выплатить объявленную премию в 1000 долларов, поскольку достоверно знал, что невозможно расположить шашки с номерами «14» и «15», не нарушив при этом правильного расположения каких-нибудь других шашек. Так же, как математик может доказать неразрешимость какого-нибудь уравнения, Лойд мог доказать, что предложенная им головоломка не имеет решения.
   Доказательство Лойда начиналось с определения величины, которая служила мерой беспорядка в расположении шашек — параметра беспорядка Dp. Параметр беспорядка данного расположения шашек равен числу пар шашек, у которых больший номер предшествует меньшему, т. е. номера идут в неправильном, обратном, порядке. Для правильного расположения шашек, как на рис. 15a, Dp = 0.

а) Dp = 0
б) Dp = 6
в) Dp = 12
   Рис. 15. Передвигая шашки внутри коробочки (но не извлекая их из нее), можно создавать различные неупорядоченные расположения чисел. Для каждого расположения можно количественно измерить беспорядок, вводя параметр беспорядка Dp

   Начав с правильного расположения шашек и передвигая их в коробочке (но не вынимая из нее), сравнительно легко получить расположение, представленное на рис. 15б. В нем шашки идут в правильном порядке до тех пор, пока мы не достигнем шашек 12 и 11. Ясно, что шашка с номером 11 должна предшествовать шашке 12, поэтому шашки в этой паре расположены в обратном порядке. Полный список тех пар, в которых шашки расположены в обратном порядке таков: (12,11), (15,13), (15,14), (15,11), (13,11) и (14,11). Таким образом, при расположении шашек, показанном на рис. 15б, имеется 6 пар с обратным расположением шашек, и Dp = 6. (Заметим, что шашка 10 соседствует с шашкой 12. Это явно неверно, но такое расположение номеров шашек тем не менее не является обратным, поэтому эта пара шашек не вносит вклада в параметр беспорядка.) Еще несколько ходов, и мы приходим к расположению шашек, представленному на рис. 15в. Составив полный список пар шашек с номерами, идущими в обратном порядке, мы обнаружим, что Dp = 12. Важно заметить, что во всех трех случаях а, б и в, значения параметра беспорядка четны (0, 6 и 12). Действительно, если вы начнете с правильного расположения шашек и будете передвигать их, не вынимая из коробочки, то утверждение о четности параметра беспорядка останется в силе. После любого числа ходов, при расположении шашек с пустой клеткой в правом нижнем углу, значение Dp всегда будет четным.
   Иначе говоря, четное значение параметра беспорядка — свойство всех расположении, получаемых из исходного правильного расположения. В математике свойство, которое сохраняется независимо от того, какие действия производятся над объектом, называется инвариантом.
   Но если вы проанализируете расположение шашек в головоломке Лойда «15–14», то обнаружите, что значение параметра беспорядка для нее равно единице: Dp = 1, так как только у одной пары с номерами 13 и 15 номера идут в обратном порядке. В головоломке Лойда параметр беспорядка имеет нечетное значение! Но мы знаем, что у любого расположения, полученного из правильного исходного расположения, значение параметра порядка четно. Отсюда следует заключение: расположение шашек в головоломке Лойда «15–14» не может быть получено из правильного исходного расположения, и наоборот, расположение шашек в головоломке Лойда не может быть сведено к правильному расположению. За премию в 1000 долларов Лойд мог быть абсолютно спокоен!
   Головоломка Лойда и параметр беспорядка убедительно демонстрируют силу инварианта. Инварианты дают математикам важную стратегию, когда требуется доказать, что один объект невозможно преобразовать в другой. Например, в настоящее время большой интерес вызывает изучение узлов, и специалисты по теории узлов, естественно, пытаются выяснить, можно или нет преобразовать один узел в другой, изгибая и образуя петли, но не разрезая его. Чтобы ответить на этот вопрос, они пытаются найти какое-нибудь свойство исходного узла, которое сохранялось бы при любом изгибании и образовании петель, т. е. инвариант узла. Затем они вычисляют такой же инвариант для второго узла. Если значения инвариантов оказываются различными, то из этого с необходимостью следует вывод о том, что первый узел невозможно преобразовать во второй.
   До того, как первые шаги в этом направлении были сделаны Куртом Рейдемейстером в 20-х годах XX века, доказать, что один узел не может быть преобразован в другой, было невозможно. Иначе говоря, до открытия инвариантов узлов было невозможно доказать, что узел «бантиком» невозможно преобразовать в рифовый узел, простой узел или даже простую петлю без какого бы то ни было узла вообще.
   Понятие инвариантного свойства занимает центральное место во многих других математических доказательствах, и, как мы увидим в гл. 5, оно сыграло решающую роль в возвращении Великой теоремы Ферма в главное русло развития современной математической мысли.
   На стыке XIX и XX веков, благодаря поклонникам Сэма Лойда и его головоломки «15–14», миллионы любителей решать головоломки в Европе и Америке жаждали новых трудных задач. Когда весть о наследстве Вольфскеля дошла до этих начинающих математиков, великая теорема Ферма снова стала самой знаменитой математической проблемой в мире. Великая теорема Ферма была бесконечно более сложной, чем самая трудная из головоломок Лойда, но и приз был несравненно больше.
   Любители мечтали о том, что им, возможно, удастся найти сравнительно простой трюк, который ускользнул от внимания великих математиков прошлого. Когда речь заходила о знании математических приемов и методов, преисполненный рвением любитель, живущий в XX веке, во многом не уступал Пьеру де Ферма. Трудность была в другом — в отсутствии изобретательности, с которой Ферма пользовался известными ему приемами и методами.
   Через несколько недель после объявления конкурса на соискание премии Вольфскеля на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Не удивительно, что все они до одного оказались ошибочными. И хотя каждый из участников конкурса был убежден, что именно ему удалось решить проблему, пережившую столетия, но во всех присланных доказательствах неизбежно была какая-нибудь тонкая, а иногда и не очень тонкая — ошибка. Искусство теории чисел настолько абстрактно, что необычайно легко сойти с верного логического пути и незаметно заблудиться, даже впасть в абсурд. В Приложении 7 показана классическая ошибка такого сорта, которую легко может допустить энтузиаст-любитель.
   Независимо от того, кто был отправителем того или иного доказательства, каждое из них скрупулезно изучалось на тот случай, если неизвестному любителю все же удастся найти столь давно разыскиваемое доказательство. Деканом математического факультета Гёттингенского университета с 1909 по 1934 годы был профессор Эдмунд Ландау. Именно на него легла обязанность разбирать все доказательства, присланные на соискание премии Вольфскеля.
   Ландау был вынужден то и дело прерывать свои собственные исследования, поскольку ему нужно было разбирать десятки ошибочных доказательств, поступавших к нему на стол каждый месяц. Чтобы справиться с ситуацией, профессор Ландау изобрел изящный метод, позволивший избавиться от докучливой работы. Профессор попросил напечатать несколько сотен карточек, на которых значилось:
   Уважаемый(ая) . . . . . . . .
   Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр … в строке … Из-за нее все доказательство утрачивает силу.
   Профессор Э.М. Ландау
    Каждое из полученных доказательств вместе с отпечатанной карточкой Ландау вручал одному из своих студентов и просил его заполнить пробелы.
   Доказательства продолжали поступать непрерывным потоком в течение нескольких лет даже после того, как премия Вольфскеля катастрофически обесценилась из-за гиперинфляции после первой мировой войны. Говорят, что тот, кто выиграл бы конкурс сегодня, вряд ли смог бы купить на премию чашку кофе, — но такие утверждения несколько преувеличены. Как пояснил д-р Ф. Шлихтинг, ответственный за рассмотрение доказательств в 70-х годах, премия Вольфскеля ныне составляет более 10000 марок. Уникальная возможность составить представление о работе Комиссии Вольфскеля дает письмо д-ра Ф. Шлихтинга Паулю Рибенбойму, приведенное в книге Ф. Шлихтинга «Тринадцать лекций о Великой теореме Ферма».
   «Уважаемый сэр!
   Общее число представленных к настоящему времени «решений» неизвестно. В первый год (1907–1908 гг.) в анналах Академии было зарегистрировано 621 решение. В настоящее время в Академии хранятся стопка бумаг, толщиной около трех метров, с материалами переписки по проблеме Ферма. В последние десятилетия работа с письмами производилась следующим образом. Секретарь Академии делил поступающие рукописи по следующим категориям: 1) полная чепуха, которая немедленно отсылалась обратно; 2) материал, который по крайней мере внешне походил на математику.
   Вторая часть корреспонденции передавалась математическому факультету, где работа по прочтению рукописей, нахождению ошибок и ответу авторам поручалась одному из ассистентов (в немецких университетах это люди, окончившие полный курс университета и работающие над диссертацией на соискание ученой степени «доктора философии» — Ph.D.). Сейчас очередная жертва — это я. Каждый месяц поступают 3–4 письма, на которые я должен отвечать. В этих письмах масса интересного и любопытного материала. Например, один из корреспондентов прислал половину доказательства и пообещал прислать вторую, если мы выплатим 1000 марок авансом. Другой корреспондент пообещал мне 1% от своих доходов от своих публикаций, интервью на радио и телевидении, когда он станет знаменитым, если только я окажу ему сейчас поддержку. В противном случае он угрожал послать свое доказательство в адрес математического факультета какого-нибудь российского университета и тем самым лишить нас славы его открывателей. Время от времени кто-нибудь из авторов «доказательств» наведывается в Гёттинген и настаивает на личной встрече и обсуждении.
   Почти все «доказательства» написаны на самом элементарном уровне (и используют обозначения, заимствованные из высшей математики и, быть может, некоторых плохо усвоенных работ по теории чисел). Тем не менее понять их очень трудно. В социальном плане отправители нередко оказываются людьми с техническим образованием, но с несложившейся карьерой, которые пытаются теперь достичь успеха с помощью доказательства Великой теоремы Ферма. Некоторые рукописи я передал психиатрам, и те диагностировали тяжелую шизофрению.
   Одно из условий в завещании Вольфскеля состояло в том, что Академия была должна ежегодно печатать извещение о конкурсе на соискание премии в главных математических журналах. Но уже через несколько первых лет журналы отказались печатать уведомление о конкурсе потому, что редакции оказались заваленными письмами и сумасшедшими рукописями. Надеюсь, что эта информация представит для Вас некоторый интерес.
   Искренне Ваш Ф. Шлихтинг»
    Как упоминает д-р Шлихтинг, участники конкурса не ограничивались тем, что присылали свои «доказательства» в Академию. Вряд ли во всем мире найдется хотя бы один математический факультет, где бы ни стоял шкаф, набитый поступившими от любителей «доказательствами». Большинство университетов попросту оставляет такие любительские доказательства без внимания и ответа, но некоторые университеты прибегали к более изобретательным способам, позволявшим отделаться от назойливых корреспондентов.[9] Известный американский популяризатор науки Мартин Гарднер вспоминает об одном своем знакомом, имевшим обыкновение возвращать пришедшие в его адрес рукописи с запиской, в которой извещал отправителя, что недостаточно компетентен для того, чтобы вникнуть в детали доказательства, и сообщал имя и адрес эксперта, который мог бы разобраться в деталях доказательства, т. е. по существу предлагал любителю обратиться к несчастному эксперту. Другой приятель Мартина Гарднера отвечал авторам присланных доказательств так: «У меня есть замечательное опровержение присланного Вами доказательства, но, к сожалению, эта страница недостаточно велика, чтобы вместить его».
   Хотя математики-любители всего мира на протяжении XX века пытались найти доказательство Великой теоремы Ферма и терпели одну неудачу за другой в попытках завоевать премию Вольфскеля, математики-профессионалы в основном продолжали игнорировать эту проблему. Вместо того, чтобы опираться в своих исследованиях на труды Куммера и других специалистов по теории чисел, математики обратились у изучению оснований своей науки, чтобы сосредоточить внимание на самых фундаментальных вопросах о числах. Некоторые из величайших фигур XX века — в том числе Бертран Рассел, Давид Гильберт и Курт Гёдель пытались разобраться в наиболее глубоких свойствах чисел, чтобы постичь их истинное значение и установить, какие проблемы теории чисел разрешимы, а какие — что гораздо важнее — неразрешимы. Их работы потрясли основания математики и эхом отозвались на судьбах Великой теоремы Ферма. [10]

Основания знания

   На протяжении веков математики занимались тем, что с помощью логического доказательства пытались построить мост, ведущий от известного в неизвестное. Им удалось достичь феноменальных успехов. Каждое новое поколение математиков расширяло грандиозное здание своей науки, создавая новые представления о числах и фигурах. Но к концу XIX века вместо того, чтобы смотреть вперед, некоторые математики стали все чаще оглядываться назад, на основания математики, на которых зиждилось все остальное. Они хотели пересмотреть самые основания математики для того, чтобы заново построить ее, соблюдая все требования математической строгости, начиная с первых принципов, чтобы еще раз убедиться в надежности этих самых первых принципов.
   Математики известны своей придирчивостью. Прежде чем принять любое утверждение, они требуют абсолютного доказательства его истинности. Их репутация отчетливо выражена в истории, которую Ян Стюарт приводит в своей книге «Понятия современной математики»: «Рассказывают, что астроном, физик и математик проводили отпуск в Шотландии. Глядя из окна поезда, они заметили посреди поля черную овцу. «Как интересно, — заметил астроном, — все шотландские овцы черные!» «Нет, нет! — возразил физик. — Некоторые шотландские овцы черные!» Математик задумчиво посмотрел вверх, а затем протянул: «В Шотландии есть по крайнее мере одно поле, посреди которого пасется по крайней мере одна овца, у которой по крайней мере одна сторона черная».
   Еще строже, чем обычный математик, рассуждает тот математик, который специализируется в области математической логики. Математические логики ставят под сомнение даже те идеи, которые другие математики столетиями считали незыблемыми. Например, закон трихотомии утверждает, что каждое целое число либо отрицательно, либо положительно, либо равно нулю. Это утверждение казалось очевидным, и математики всегда молчаливо предполагали, что оно истинно, но никто никогда не потрудился проверить, так ли это. Логики поняли, что до тех пор, пока истинность закона трихотомии не доказана, его утверждение может оказаться ложным, а если оно окажется ложным, то рухнет все опирающееся на него здание знаний. К счастью для математики, истинность закона трихотомии была доказана в конце XIX века.
   Со времен Древней Греции математика накапливала все больше и больше теорем и высказываний, которые не были строго доказаны. Математики были озабочены истинностью некоторых из них, проникших в математический арсенал без должного анализа, — таких, как закон трихотомии. Некоторые идеи были усвоены очень давно, однако, никто не может быть вполне уверен в том, что они могут считаться доказанными, поскольку в разное время были разные представления об уровне строгости доказательства. Поэтому логики решили проверить доказательство каждой теоремы с самого начала. Но каждая истина должна быть выведена из других истин. В свою очередь те истины сначала должны быть доказаны, исходя из еще более фундаментальных истин, и т. д. В конце концов логики оказались лицом к лицу с несколькими утверждениями, настолько фундаментальными, что вывести их из других утверждений не представлялось возможным. Эти фундаментальные утверждения называют аксиомами математики.
   Одним из примеров аксиом может служить коммутативный закон сложения, который гласит: для любых чисел m и n верно равенство
m + n = n + m
   Этот закон и несколько других аксиом принято считать самоочевидными. Они легко могут быть проверены на любых числах. До сих пор аксиомы успешно проходили все проверки и были приняты за основу всей математики. Задача, которую поставили перед собой логики, заключалась в том, чтобы попытаться заново построить всю математику, исходя из этих аксиом. В Приложении 8 приводится набор аксиом арифметики и дается представление о том, как логики намереваются, исходя из них, построить всю остальную математику.
   В медленном и болезненном процессе перестройки грандиозного и сложного здания математического знания на основе минимального числа аксиом участвовали очень многие математики. Идея этой перестройки заключалась в том, чтобы обосновать с использованием строжайших стандартов логики то, что математики считали давно известным. Немецкий математик Герман Вейль так описывал настроение того времени: «Логика — это гигиена, правила которой математик соблюдает, чтобы сохранить свои идеи здоровыми и сильными». Кроме того, была надежда, что столь фундаментальный подход позволит пролить свет на еще нерешенные проблемы, в том числе — на Великую теорему Ферма.

   Программу обновления математики возглавил один из самых выдающихся ученых XX века — Давид Гильберт. По его глубокому убеждению, все в математике может и должно быть доказано, исходя из основных аксиом. Результат аксиоматического подхода должен был быть доказательно продемонстрирован на двух важнейших элементах математической системы. Во-первых, математика, по крайней мере в принципе, должна быть способна ответить на каждый вопрос в отдельности — это тот самый принцип полноты, который в прошлом требовал введения новых чисел, например, отрицательных и мнимых чисел. Во-вторых, математика должна быть свободна от противоречий, т. е. если истинность некоторого утверждения доказана одним методом, то должна быть исключена возможность доказательства отрицания того же самого утверждения другим методом. Гильберт был убежден, что, приняв всего лишь несколько аксиом, можно ответить на любой мыслимый математический вопрос, не опасаясь впасть в противоречие.

   8 августа 1900 года Гильберт выступил с историческим докладом на II Международном конгрессе математиков в Париже. Гильберт сформулировал двадцать три проблемы, имевшие, по его мнению, наибольшее значение. Первые из них были посвящены логическим основаниям математики. По замыслу Гильберта, сформулированные им проблемы должны были привлечь внимание математического мира и стать программой будущих исследований. Гильберт хотел гальванизировать математическое сообщество, чтобы оно помогло реализовать его ви́дение математической системы, свободной от сомнений и противоречий — честолюбивый замысел, суть которого Гильберт завещал высечь на своем надгробии:
   Огромный вклад в осуществление так называемой гильбертовской программы внес Готтлоб Фреге, временами вступавший в острейшее соперничество с Гильбертом. Более десяти лет Фреге посвятил выводу сотен сложных теорем из простых аксиом, и достигнутые успехи вселили в него уверенность, что он находится на пути к осуществлению значительной части намеченной Гильбертом программы. Одним из ключевых достижений Фреге было создание самого определения числа. Например, что мы в действительности понимаем под числом 3? Оказалось, что для определения числа 3 Фреге понадобилось сначала определить «троичность».
   «Троичность» — это абстрактное свойство, присущее всем наборам, или множествам, содержащим по три объекта. Например, «троичность» может быть использована и при описании поросят в известной детской песенке, и при описании множества сторон треугольника. Фреге заметил, что свойством «троичности» обладают многочисленные множества и воспользовался абстрактной идеей таких множеств для определения самого числа «3». Он создал новое множество и поместил в него все множества, обладающие свойством троичности, и назвал это новое множество «множество 3». Таким образом множество имеет три члена в том и только в том случае, если оно принадлежит «множеству 3».
   Для понятия, которым мы пользуемся ежедневно, такое определение может показаться чересчур сложным, но столь строгое описание «множества 3» необходимо для бескомпромисной программы Гильберта.
   В 1902 году тяжкий труд, добровольно возложенный на себя Фреге, подошел к концу: Фреге подготовил к печати гигантский двухтомный трактат «Grundgesetze der Arithmetik»[12], который должен был установить в математике новый стандарт строгости.
   Тогда же английский логик Бертран Рассел, также внесший немалый вклад в осуществление грандиозного проекта Гильберта, сделал ошеломляющее открытие: строго следуя предписаниям Гильберта, он все же наткнулся на противоречие. Позднее Рассел вспоминал свою собственную реакцию на удручающее осознание того, что вся математика может быть внутренне противоречива: «Сначала я было предположил, что легко и просто сумею преодолеть это противоречие, и что в мои рассуждения, возможно, где-то вкралась какая-нибудь тривиальная ошибка. Но постепенно мне становилось ясно, что это не так… Всю вторую половину 1901 года я надеялся, что решение будет несложным, но к концу года понял, что предстоит нелегкая работа… Я взял за обыкновение бродить каждый вечер с одиннадцати до часу ночи и научился различать три различных звука, которые издает козодой. (Большинству людей знаком лишь один звук.) Я сосредоточенно пытался разрешить полученное мной противоречие. Каждое утро я усаживался перед чистым листом бумаги и весь день (за исключением короткого перерыва на ленч) не сводил с листа глаз. Очень часто, когда наступал вечер, лист так и оставался пустым».
   Выхода из этого противоречия не было. Работа Рассела нанесла серьезный урон мечтам о математической системе, свободной от сомнений, противоречий и парадоксов. Он написал Фреге, рукопись книги которого уже находилась в печати. Письмо Рассела практически свело на нет работу всей жизни Фреге, но, несмотря на смертельный удар, Фреге опубликовал свой magnum opus[13], невзирая на сообщение Рассела, и только добавил постскриптум ко второму тому: «Вряд ли что-нибудь может быть более нежелательным для ученого, чем сомнения в своей правоте в тот самый момент, когда он завершает свой труд. Именно в таком положении я оказался, получив письмо от мистера Бертрана Рассела в тот момент, когда моя работа уже должна выйти из печати».
   По иронии судьбы, обнаруженное Расселом противоречие выросло из столь любимых Фреге множеств. Через много лет в своей книге «Мое философское развитие» Рассел вспоминал тот яркий ход рассуждений, который оспаривал работу Фреге: «Мне показалось, что множество иногда может, а иногда не может быть членом самого себя. Например, множество чайных ложек само не есть чайная ложечка, а множество вещей, не являющихся чайными ложечками, есть одна из вещей, не являющихся чайной ложечкой». Именно это любопытное и на первый взгляд безобидное замечание Рассела привело к катастрофическому парадоксу.
   Парадокс Рассела часто объясняют на примере истории о дотошном библиотекаре. Однажды, проходя между книжных полок, этот библиотекарь набрел на подборку каталогов. Там были отдельные каталоги художественной прозы, библиографических указателей, поэзии и т. д. Библиотекарь отметил, что в одних каталогах имелись ссылки на самих себя, тогда как в других таких ссылок не было.
   Чтобы упростить систему регистрации книг, библиотекарь решил составить два новых каталога. В один из них он хотел включить все каталоги, содержащие ссылки на самих себя, а в другой — все каталоги, не содержащие ссылки на самих себя. По завершении работы перед библиотекарем встала проблема: нужно ли включать в каталог всех каталогов, не содержащих ссылку на самих себя, его самого? Если его включить, то нарушится условие составления этого каталога. Однако, по тому же условию, он должен быть включен. Наш библиотекарь оказался в безвыходной ситуации. Каталоги в рассмотренном нами примере очень похожи на множества, или классы, которые Фреге использовал в качестве фундаментального определения числа. Следовательно, противоречивость, поразившая библиотекаря, создает проблемы в самой структуре математики, которая по предположению считается логической. В математике нельзя допустить противоречий и парадоксов. Например, такое мощное оружие, как доказательство от противного, опирается на математику, свободную от противоречий. Доказательство от противного утверждает, что если принятое допущение приводит к противоречию, то оно должно быть ложным, а, по Расселу, даже аксиомы могут приводить к противоречию. Следовательно, доказательство от противного могло бы показать, что аксиома ложна, и тем не менее аксиомы образуют основания математики, и их принято считать истинными.
   Многие мыслители скептически отнеслись к работе Рассела, ссылаясь на то, что развитие математики до того происходило вполне успешно и не встречало каких-либо парадоксов. Отвечая на критику, Рассел следующим образом объяснял значение своей работы.
   «Но, можете Вы возразить, ничто не поколеблет Вашего убеждения в том, что дважды два равно четыре. Вы совершенно правы — за исключением незначительных частных случаев. Два должно быть двумя чего-то, и утверждение "дважды два равно четырем" бесполезно, если его невозможно применить к чему-либо. Две собаки и две собаки, разумеется, это четыре собаки. Но могут представиться случаи, когда Вы усомнитесь в том, являются ли эти два животных собаками. "Во всяком случае, животных четверо", — могли бы возразить Вы. Но существуют микроорганизмы, относительно которых трудно сказать, животные они или растения. "Прекрасно, — возразите Вы, — пусть будут не животные, а живые организмы". Но есть такие объекты, относительно которых трудно сказать, живые они или нет. Вам не останется ничего другого, как сказать: "Две сущности и две сущности равны четырем сущностям". Если Вы объясните мне, что Вы понимаете под «сущностью», то спор можно будет считать законченным».
   Работа Рассела повергла основания математической логики в состояние хаоса. Логики чувствовали, что парадокс, скрывающийся в недрах математики, рано или поздно высунет свою голову и вызовет большие проблемы. Вместе с Гильбертом и другими логиками Рассел предпринял попытку исправить ситуацию и восстановить пошатнувшееся здоровье математики.
   Открывшееся противоречие было прямым следствием работы с аксиомами, которые до того предполагались самоочевидными и достаточными для построения остальной математики. Один из выходов заключался в создании дополнительной аксиомы, которая запрещала бы любому множеству быть членом самого себя. Такая аксиома позволила бы одолеть парадокс Рассела, поскольку устраняла бы вопрос о том, включать или не включать в каталог каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, сам каталог каталогов.
   Следующее десятилетие Рассел занимался анализом того, что составляет самую суть математики, — ее аксиом. В 1919 году он в соавторстве с Альфредом Нортом Уайтхедом опубликовал первый из трех томов «Principia Mathematica». В этой книге они предприняли успешную попытку решить проблему, вызванную парадоксом Рассела. В течение следующих двадцати лет многие математики использовали «Principia Mathematica» в качестве руководства по возведению безупречного здания математики, и к 1930 году, когда Гильберт вышел в отставку, он мог быть уверен в том, что математика находится на верном пути к выздоровлению. Казалось, мечта Гильберта о непротиворечивой логике, достаточно мощной для того, чтобы ответить на любой вопрос, близится к осуществлению.
   Но в 1931 году никому не известный двадцатипятилетний математик опубликовал статью, которая навсегда расстроила надежды Гильберта. Курт Гёдель заставил математиков признать, что математика никогда не станет логически совершенной. Неявно в его работе содержалась и та мысль, что некоторые проблемы математики, например, Великая теорема Ферма, могут оказаться неразрешимыми.

   Курт Гёдель родился 28 апреля 1906 года в Моравии, входившей тогда в состав Австро-Венгерской империи, а ныне образующей часть Чехии. В раннем детстве Гёдель перенес несколько заболеваний, самым серьезным из которых был приступ ревматизма в шестилетнем возрасте. Дыхание смерти, которое Гёдель ощутил в столь нежном возрасте, привело к мучительной ипохондрии, которой он страдал всю жизнь. В восьмилетнем возрасте, читая медицинский учебник, Гёдель убедился, что у него слабое сердце, хотя ни один из врачей не находил тревожных симптомов. Позднее, уже в конце жизни, Гёдель ошибочно решил, что его хотят отравить, и, отказавшись от приема пищи, уморил себя голодом.

   Еще в детстве Гёдель обнаружил необычайные способности к естественным наукам и математике, и за свою пытливую натуру получил семейное прозвище «господин Почему» (der Herr Warum). Гёдель поступил в Венский университет, так и не сделав выбор между математикой и физикой, но вдохновленный зажигательными и страстными лекциями профессора Ф. Фуртвенглера по теории чисел, решил посвятить себя числам. Лекции были тем более необычными, что Фуртвенглер, парализованный от шеи и ниже, вынужден был читать их, сидя в инвалидной коляске, без конспектов, а его ассистент производил выкладки на доске.
   К двадцати с небольшим годам Гёдель стал штатным сотрудником математического факультета, но вместе со своими коллегами нередко участвовал в заседаниях Венского кружка — группы философов, собиравшихся для обсуждения наиболее значительных проблем современной логики. Именно в тот период у Гёделя сложились идеи, подорвавшие самые основания математики.
   В 1931 году Гёдель опубликовал свою работу «Über formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme» 5, в которой содержались его так называемые теоремы о неразрешимости. Когда весть о теореме Гёделя достигла Америки, великий математик Джон фон Нейман тотчас же заменил часть своего курса о программе Гильберта обсуждением революционной работы Гёделя.
   Гёдель доказал, что попытка создания полной и непротиворечивой математической системы — задача заведомо невыполнимая. Идеи Гёделя можно кратко сформулировать в двух утверждениях. [14]
   Первая теорема о неполноте
   Если аксиоматическая теория непротиворечива, то существуют теоремы, которые не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты.
   Вторая теорема о неполноте
   Непротиворечивость теории не может быть доказана теми методами, которые в ней формализуются.
    По существу, первая теорема Гёделя утверждает, что какая бы система аксиом ни использовалась, всегда найдутся вопросы, на которые математика не сможет найти ответ, — полнота недостижима. Что еще хуже, вторая теорема Гёделя утверждает, что математики никогда не смогут быть уверены в том, что их выбор аксиом не приведет к противоречию, — непротиворечивость никогда не может быть доказана. Гёдель показал, что программа Гильберта неосуществима.
   Через несколько десятилетий в своей книге «Портреты по памяти» Бертран Рассел описывал свое впечатление от открытия Гёделя так: «Я жаждал определенности так же, как другие жаждут обрести религиозную веру. Мне казалось, что найти определенность в математике можно с большей вероятностью, чем где-нибудь еще. Но я обнаружил, что многие математические доказательства, которые, в соответствии с ожиданиями моих учителей, мне надлежало принять за истинные, обременены ошибками и что, если определенность действительно может быть обнаружена в математике, то произойдет это в новой области математики с более надежными основаниями, чем те, которые считались надежными прежде. По мере того, как работа продвигалась, мне постоянно приходила на ум басня о слоне и черепахе. Построив слона, на котором мог покоиться математический мир, я обнаружил, что слон нетвердо стоит на ногах, и приступил к построению черепахи, которая удержала слона от падения. Но черепаха оказалась не более надежной, чем слон, и после двадцати с лишним лет напряженнейшего труда я пришел к заключению, что нет ничего, что я бы не сделал, дабы придать математическому знанию непоколебимость».
   Вторая теорема Гёделя утверждает, что невозможно доказать непротиворечивость аксиом, но это не обязательно означает, что аксиомы противоречивы. Многие математики все еще верят в глубине сердца, что их математика останется непротиворечивой, но не могут это доказать. Через много лет выдающийся специалист по теории чисел Андре Вейль заметил: «Бог существует потому, что математика непротиворечива, а дьявол существует потому, что мы не можем доказать это».
   В действительности, и формулировка и доказательство теорем неполноты Гёделя крайне сложны. Например, строгая формулировка первой теоремы неполноты имеет следующий вид:
   Каждому ω-непротиворечивому рекурсивному классу κ формул соответствует такой рекурсивный класс ζ знаков r, что ни ν Gen r, ни Nеg(Gеn r) не принадлежит Flg(k) (где ν — свободная переменная класса r).
   К счастью, подобно тому, как история с библиотекарем помогает понять парадокс Рассела, первую теорему о неполноте Гёделя можно проиллюстрировать на другой логической аналогии, которая принадлежит Эпимениду и известна под названием парадокса критянина, или парадокса лжеца. Эпименид был критянином, который воскликнул:
   Я лжец!
   Парадокс возникает, когда мы попытаемся определить, истинно или ложно утверждение Эпименида. Посмотрим, что произойдет, если предположить, что это утверждение истинно. Из истинного утверждения следует, что Эпименид лжец. Но мы приняли предположение о том, что он высказал истинное утверждение, и, следовательно, Эпименид не лжец. Мы приходим к противоречию.
   Теперь предположим, что утверждение Эпименида ложно. Из ложности утверждения следует, что Эпименид не лжец. Но мы приняли предположение, что он высказал ложное утверждение. Следовательно, Эпименид лжец, и мы снова приходим к противоречию. Таким образом, что бы мы не предположили об истинности утверждения Эпименида, мы неизменно приходим к противоречию. Следовательно, утверждение Эпименида не истинно и не ложно.
   Гёдель нашел новую интерпретацию парадокса лжеца и ввел понятие доказательства. Результатом его новаций стало следующее утверждение:
   Это утверждение не имеет никакого доказательства.
   Если бы это утверждение было ложным, то оно было бы доказуемым, но это противоречило бы самому утверждению. Следовательно, во избежание противоречия, утверждение должно быть истинным. Но это утверждение не может быть истинным в силу самого утверждения (о котором мы теперь знаем, что оно должно быть истинным).
   Поскольку Гёделю удалось записать это утверждение в математических обозначениях, он смог доказать, что в математике существуют утверждения, которые истинны, но истинность их не может быть доказана, — так называемые неразрешимые утверждения. Для программы Гильберта это было смертельным ударом.
   Открытия в области квантовой физики во многом оказались схожи с этой работой Гёделя. За четыре года до того, как Гёдель опубликовал свою работу о неразрешимости, немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл принцип неопределенности. Подобно тому, как Гёдель открыл предел, до которого математики могут доказывать свои теоремы, Гейзенберг обнаружил, что существует предел, до которого физики в принципе могут производить измерения свойств. Например, если они хотят измерить точное положение объекта, то скорость того же объекта им удастся измерить лишь со сравнительно большой погрешностью. Связано это с тем, что для измерения положения объекта последний необходимо «обстрелять» фотонами света, но для того, чтобы точно определить положение объекта, фотоны света должны обладать огромной энергией. Но если объект бомбардировать фотонами высокой энергии, то собственная скорость объекта будет испытывать сильнейшие возмущения и станет неопределенной. Следовательно, пытаясь точно определить положение объекта, физики вынуждены поступиться точным знанием его скорости.
   Принцип неопределенности Гейзенберга проявляется только на атомных масштабах, когда измерения с высокой точностью приобретают решающее значение. Следовательно, значительная часть физики может продолжать развиваться по-прежнему, в то время как квантовые физики занимаются изучением глубоких вопросов относительно пределов знания. То же самое происходит и в мире математики. В то время как логики ведут доступные пониманию лишь посвященных дискуссии о неразрешимости, остальная часть математического сообщества продолжает свои исследования, не обращая внимание на то, что происходит у логиков. Хотя Гёдель доказал, что существуют некоторые недоказуемые утверждения, в математике существует предостаточно доказуемых утверждений, и его открытие не обесценило доказанных в прошлом теорем. Кроме того, многие математики были убеждены в том, что неразрешимые утверждения Гёделя существуют только в самых «темных» областях математики, находящихся где-то на ее периферии, и что такие неразрешимые утверждения, возможно, никогда не встретятся ни одному математику. Ведь Гёдель утверждал лишь, что такие утверждения существуют, но не привел ни одного из них в качестве примера. Но в 1963 году предсказанный Гёделем теоретический кошмар стал реальностью.
   Пауль Коэн, двадцатидевятилетний математик из Стэнфордского университета, разработал метод, позволяющий проверять разрешимость того или иного вопроса. Метод Коэна работает в некоторых весьма специальных случаях, но тем не менее Коэн был первым, кому удалось обнаружить конкретные неразрешимые вопросы. Совершив это открытие, Коэн немедленно вылетел в Принстон. Он хотел, чтобы правильность его работы проверил сам Гёдель. К тому времени Гёдель был тяжело болен (диагноз медиков гласил: паранойя). Он лишь слегка приоткрыл дверь, вырвал из рук Коэна бумаги и захлопнул дверь. Через два дня Коэн получил приглашение в дом Гёделя на чай — знак того, что маэстро скрепил доказательство печатью своего авторитета. Особый драматизм ситуации придало то обстоятельство, что некоторые из неразрешимых вопросов занимают в математике центральное место. По иронии судьбы, Коэн доказал неразрешимость одной из двадцати трех проблем Гильберта — гипотезы континуума.
   Работа Гёделя, дополненная неразрешимыми проблемами Коэна, стала тревожным посланием всем математикам, профессионалам и любителям, которые продолжали свои попытки доказать Великую теорему